Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. При каждом начисле­нии проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с на­численными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз про­центы начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по фор­муле:

S=P(1+j / m ) N, (13)

где N - число периодов начисления (N=mn, может быть и дробным числом).

При финансовом анализе широко используется понятие эффективной ставки. Чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем при прочих равных условиях она выгоднее кредитору.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое нара­щение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соот­ветствующих множителей наращения:

(1+ iэ )n = (1+j/m)mn , (14)

где iэ, j - эффективная и номинальная ставки.

Связь между эффективной и номинальной ставками выражается со­отношением

iэ= (1 + j / m)m -1. (15)

Обратная зависимость между номинальной и эффективной ставкой выражена следующей формулой:

j = m [(1+ iэ )1/m-1]. ( 16)

2.4.Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем формулу S = P(1 + i )n для наращения по сложной ставке с начислением процентов один раз в год и перепишем ее относительно Р:

P = S/(1 + i ) n = Sν n , (17)

где дробь ν n = 1/(1 + i ) n (18)

является учетным, или дисконтным множителем.

При начислении процентов т раз в году, используется формула:

P = S / ( 1 + j / m) nm = Sν nm , (19)

где ν nm = 1/(1 + j / m) nm (20)

(дисконтный множитель).

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют совре­менной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.

Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S че­рез п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной став­ке осуществляется по формуле:

Р = S(1- dсл )n (21)

где dcл1 - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае будет равен:

D = S – P = S – S(1- dсл)n = S[1– (1 - dсл)n] (22)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконти­рования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учет­ная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за преды­дущий период на величину дисконта.

Финансовые потоки. Как правило, разного рода финансовые операции предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Совокупность ряда распределенных во времени платежей принято называть потоками платежей или финансовыми потоками. Как правило, любая финансовая операция предполагает наличие двух потоков платежей: входящего — поступления (доходы) и исходящего — выплаты (расходы, вложения). Эти потоки, а также потов про­центных платежей, создаваемый начислением процентов, фор­мируют соответствующий денежный фонд. Движение средств на счету фонда происходит в результате действия входящего - выходящего потоков. В финансовом анализе обычно заменяю эти потоки одним двусторонним потоком платежей, причем поступления считаются положительными величинами, а выплаты — отрицательными.

Накопленная сумма представляет собой сумму всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу его срока. После окончание срока потока платежей накопленная сумма заменяет всю предшествующую последовательность платежей. Аналогичным образом текущая стоимость потока платежей равна сумме платежей, дисконтированных на момент времени, совпадающий с началом потока платежей, — заменяет всю последующую совокупность платежей.

Если в течение срока действия кредитного соглашения сумма задолженности уменьшается за счет частичного погашения за­долженности или, наоборот, возрастает при дополнительном заимствовании средств. В этом случае проценты начисляются отдельно за каждый период, в течение которого сумма задол­женности постоянна, а затем начисленные для отдельных пе­риодов времени проценты суммируются. Расчет производится по формуле простых процентов.

Выделяют следующие виды рент: обычная рента, или рента постнумерандо, выплачивается в конце каждого года в течение срока ренты. Первый платеж осу­ществляется в конце первого года, последний — в конце срока ренты; пренумерандо – платежи осуществляются в начале каждого периода ренты; немедленные ренты - если срок их действия начинается немедленно после заключения договора; срок действия отложенных рент запаздывает относительно этого момента. Величина временного интервала настоящего момента до начала ренты называется периодом отсрочки.

Отложенная рента представляет собой немедленную ренту, сдвинутую во времени на период отсрочки. Поэтому текущая стоимость отложенной ренты равна текущей стоимости немед­ленной ренты, дисконтированной на интервал времени, равный периоду отсрочки.

Потоки платежей. Наращенные суммы для финансовых рент

Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты на­числяются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i ) n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение (n -1) года. Второй взнос увеличит­ся до R(1+i ) n-2 и т.д.

На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет рав­на сумме членов геометрической прогрессии: S =R+R(1+i)+R(1+i)2+…+R(1+i) n-1 ,

в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов п.

Отсюда:

S = R = R = R sn ; i , (23)

где - коэффициент наращения ренты. Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i.

Рента р - срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай). Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно, р ≠ т.

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после нача­ла, составит к концу срока вместе с начисленными на него процента­ми

= .

Второй член ренты к концу срока возрастет до

= ,

и т.д.

Последний член этой записанной в обратном порядке геометриче­ской прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов пт.

Для данного случая наращенная сумма рассчитывается по формуле:

S = = . (27)

Из последней формулы легко получить все рассмотренные выше ча­стные случаи, задавая соответствующие значения р и т.

Определение величины отдельного платежа простой ренты

При определении величины отдельного платежа R возможны два случая: - известна наращенная сумма S,

- известна современная стоимость A.

1-й случай. Определение величины отдельного платежа при известной наращенной сумме S.

Когда известна наращенная сумма S, то платежи могут производиться по двум схемам:

- по схеме постнумерандо;

- по схеме пренумерандо.

Определение величины отдельного платежа по схеме постнумерандо. Если известны процентная ставка i, количество выплат п и наращен­ная сумма S простой рен­ты, то из формулы (23) можно определить величину отдельного платежа R:

. (28)

Определение величины отдельного платежа по схеме пренумерандо. Для простой ренты пренумерандо величина отдельного платежа R рассчитывается по формуле:

. (29)

Определение величины отдельного платежа R по схеме постнумерандо. Когда известны процентная ставка i , количество выплат п и современная стоимость А (постнумерандо), то величину отдельного платежа R можно вычислить по формуле:

. (30)

Определение срока простой ренты

В коммерческом контракте обычно указываются порядок погашения обязательств рентными платежами с указанием срока ренты (времени от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа).

Срок ренты n может рассчитываться либо по известной наращенной сумме S, либо по известной современной стоимости A.

1-й случай. Определение срока простой рен­ты n при известной наращенной сумме S.

Для определения срока простой ренты при платежах по схеме постнумерандо используется следующая формула

. (32)

Если рентные платежи осуществляются по схеме пренумерандо, то определение срока n простой ренты производится по формуле

. (33)

Срок простой ренты при платежах по схеме постнумерандо определяется по следующей формуле:

. (34)

В случае, когда реализуется рента пренумерандо, то срок ренты рассчитывается по выражению:

(35)

В качестве основного литературного источника мы рекомендуем использовать [1,2], в качестве дополнительного – [4,5,6].

Существует ряд других разновидностей рент. Более подробно ознакомиться с этой теме можно, используя в качестве основного литературного источника [2,4], в качестве дополнительного – [6,8].