2. Численное дифференцирование функций

2.1 Общие сведения

При решении практических задач часто нужно найти производные некоторых порядков от функции , заданной таблично. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию на интересующем отрезке интерполирующей функцией , а затем полагают:

(6.1)

при .

Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции .

Если для интерполирующей функции известна погрешность

, (6.2)

то погрешность производной выражается формулой

. (6.3)

Отметим, что приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, как видно из рисунка 6.1, близость друг к другу ординат двух кривых и на отрезке еще не гарантирует близости на этом отрезке производных и , т.е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента.

Рисунок 6.1 – Производные исходной функции и интерполирующего ее полинома

Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек.

Пусть точки - равноотстоящие (рисунок 6.2) т.е. и пусть для функции известны значения

Рисунок 6.2 – Пояснение к формулам (6.4)

Обозначим

или (при ) (6.4)

и для данной системы узлов построим интерполяционный полином Лагранжа.

, (6.5)

где - обобщенная степень числа .

Продифференцируем выражение (6.5), учитывая, что :

. (6.6)

Для оценки погрешности

воспользуемся формулой оценки погрешности для интерполяционного полинома Лагранжа

, (6.7)

где обозначено

= ,

а - промежуточное значение между точками и . Из этой формулы можно найти погрешность производной в узлах:

, (6.8)

где - промежуточное значение между точками .

Пример. Произведем расчет для (три точки).

Из формулы (6.5) получаем:

.

Тогда, с учетом запишем:

.

В частности, для производных с учетом (6.4) получим следующие выражения:

(6.9)

с соответствующими погрешностями:

. (6.10)

Из (6.9) и (6.10) следует, что более простую структуру и повышенную точность имеют формулы для вычисления центральной производной (производной в средней точке при нечетном числе точек).

Приведем формулы для определения центральных производных при и (см. рисунок 6.3).

Рисунок 6.3 – Расположение узлов, симметричное относительно точки

, (6.11)

где - некоторая точка интервала ; .

, (6.12)

где - некоторая точка интервала .

2.2 решение задачи

Производная в центральной точке при n=2 рассчитывается по формуле

,

где - некоторая точка интервала ; а h =(x_i+1-x_i)=0,2.

=x_i=0,4

Для расчета остаточного члена R= следует найти 3-ю

производную, однако если нахождение 3-ей производной затруднительно, то этот член просто отбрасывают из формулы, но результат будет при этом более грубым. В нашем случае рассчитать 3-ю производную не составляет труда.

y’= –sin x

y’’= –cos x

y’’’= sin x

Следовательно имеем конечную формулу

Производная в центральной точке при n=4 рассчитывается по формуле

,

где - некоторая точка интервала ; а h =0,2.

=x_i=0,4

Рассчитаем 5-ю производную функции y=cos x

y⁽⁴⁾= cos x

y⁽⁵⁾= –sin x

Следовательно имеем конечную формулу

Найдем значение производной функции в точке ξ = X_i = 0,4

Рассчитаем относительные и абсолютные погрешности по формулам

и

Результаты занесены в таблицу 6.1

Таблица 6.1— Таблица погрешностей расчетов при n=2 и n=4, при сравнении с точным значением

Метод решения	Результат	Δ	δ
	0,3894183423	------------	--------------
n=2	0,389596	1,78*10-4	4,57*10-4
n=4	0,389646	2,28*10-4	5,85*10-4