3. Комбинированный метод поиска решения уравнения .

Использование метода хорд дает приближенное значение корня заданного уравнения с недостатком, а применение метода касательных дает приближенное значение корня с избытком. Комбинируя эти методы можно получить быстрое схождение последовательности приближенных значений к корню заданного уравнения. Если точка тот конец данного сегмента, где функция и вторая производная имеют одинаковые знаки, то по методу хорд приближенное значение корня равно

, а по методу касательных это значение равно .

Следовательно, в качестве следующего сегмента, на котором находится корень уравнения можно взять интервал , и найти следующее приближение по методу хорд

, а по методу касательных это значение равно . При достижении требуемой точности на шаге приближенное значение корня уравнения по методу хорд будет равен

, а по методу касательных .

Отсюда корень уравнения с требуемой точностью можно вычислить по формуле

.

Пример 3. Найти корни уравнения с точностью .

Если построить графики функций и , то можно увидеть, что они пересекаются в двух точках. Точный корень равен , а второй корень уравнения принадлежит сегменту . Вычислим этот корень с заданной точностью. В данном примере функция . Найдем первую производную и вторую производную этой функции. Вычислим значение функции на концах сегмента и и значение второй производной на сегменте : . Следовательно, . Находим приближенное значение корня по методу хорд , а по методу касательных это значение равно . С помощью таблиц логарифмов находим и , также значение первой производной . Для второго приближения получаем

,

а по методу касательных это значение равно . Отсюда искомый корень .

“Исследование функций с помощью производных: Возрастание и убывание функций. Экстремумы. Необходимое условие существования экстремума”

1. Необходимое условие возрастания и убывания функции.

Из определений возрастающей и убывающей функций следует необходимое условие возрастания и убывания функции.

Т1. Если дифференцируемая функция возрастает ( ) на сегменте , то ее первая производная . Если дифференцируемая функция ( ) убывает на сегменте , то ее первая производная .

С геометрической точки зрения возрастающая на сегменте функция в каждой точке своего графика характеризуется касательной, которая образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол. Если функция убывает на сегменте , то касательная образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Из графика этой функции видно, что и . Согласно необходимому признаку возрастания и убывания функции вычислим ее первую производную: . Эта производная будет отрицательной и положительной величиной. Следовательно, в полном соответствии с графиком функции и .

Достаточное условие возрастания и убывания функции определяет

Т2. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Если ее первая производная , то функция возрастает на сегменте . Если ее первая производная , то функция убывает на сегменте .