5. Дифференцируемость непрерывных функций.

О4. Нахождение конечной производной от непрерывной функции называется дифференцированием.

Пример 3. Дифференцируема ли функция в точке .

Изобразим график данной функции

В точке данная функция определена, имеет равные лево- и пра-восторонние пределы (пределы равны нулю), которые равны значению функции в этой точке, следовательно, функция непрерывна в точке . Однако в этой точке проиводная не существует, так как слева , а справа . Отсюда следует, что в точке производной нет.

Пример 4. Дифференцируема ли функция в точке .

В точке данная функция непрерывна, однако в данной точке производная равна , т.е. в точке производная бесконечна.

6. Правила дифференцирования.

Как видно из Примера 1 этой Лекции, вычисление производной согласно определению является трудоемкой задачей. В связи с этим были получены следующие правила дифференцирования.

1). Производная от суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных от этих функций, т.е. .

Производная от суммы (разности) любого числа функций равна сумме (разности) производных от этих функций.

2). Производная от произведения двух функций вычисляется по формуле:

.

3). Производная от частного двух функций вычисляется согласно формуле:

4). Производная от обратной функции вычисляется по формуле: .

5). Производная от сложной функции вычисляется по формуле:

.

“Производная от элементарных, параметрически и неявно заданных функций”

1. Производная от основных элементарных функций.

1). Постоянная функция . Вычислим приращение постоянной функции . Отношение приращения функции к приращению аргумента . Следовательно, , т.е. производная от постоянной величины равна нулю.

Сл. 1. При вычислении производной от произведения константы на функцию получаем , т.е. постотянный множитель можно выносить за знак производной.

Сл. 2. Аналогично поступают при вычислении производной от частного

или .

2). Логарифмическая функция . Используя определение производной, находим

(выражение в квадратных скобках стремится к числу по второму замечательному пределу) .

Сл. 1. Производная от сложной логарифмической функции равна .

Сл. 2. Если основание логарифма , то .

3). Степенная функция . Для нахождения производной от этой функции воспользуемся методом логарифмического дифференцирования: . Возьмем натуральный логарифм от степенной функции . Отсюда находим . Таким образом, . Для сложной функции эта формула имеет следующий вид .

Сл. Наиболее распространенными являются случаи:

а) ; (см. Сл. 2. для постоянной функции этого пункта);

б) ; ; в) ; .

4). Показательная функция . Воспользуемся логарифмической производной . Отсюда находим . Для сложной функции формула имеет вид .

Сл. Если основание показательной функции , то . В случае сложной функции производная равна .

5). Тригонометрические функции:

а) . Вычислим производную от синуса

.

При выводе формулы был использован первый замечательный предел. Для сложной функции производная равна .

Самостоятельно получить формулы для других тригонометрических функций:

б) . ; .

в) . ; .

г) . ; .

6). Обратные тригонометрические функции:

а) . Вычислим производную от арксинуса, для чего от обеих частей равенства возьмем функцию синус, то есть найдем обратную функцию . Беря производную от обеих частей равенства с учетом того факта, что функция, стоящая справа, является сложной, получим . Отсюда находим, что

.

Для сложной функции . Самостоятельно получить формулы для других обратных тригонометрических функций:

б) ; ; .

в) ; ; .

г) ; ; .

Пример 1. Найти производную функции . В данном случае производная .

Пример 2. Найти производную функции .

Для приведенной функции производная .

Полученные производные от элементарных функций сведем в таблицу:

№ п/п	Функция		Производная элементарной функции	Производная сложной функции
1			0	0
2			1
3
4
5
6