5. Асимптоты графика функции .

В большинстве практических случаев необходимо знать поведение функции при неограниченном росте (или убыли) аргумента. Одним из наиболее интересных случаев, которые возникают при таком исследовании, является случай, когда график функции неограниченно приближается к прямой линии.

О4. Прямая ( ): называется асимптотой графика функции , если расстояние от переменной точки графика до этой прямой стремится к нулю при стремлении аргумента , т.е. .

График функции может приближаться к асимптоте сверху, снизу, слева, справа или колеблясь возле этой прямой.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

О5. Вертикальная прямая называется вертикальной асимптотой, если . Горизонтальная прямая называется горизонтальной асимптотой, если . Прямая называется наклонной асимптотой (параметр и параметр отличаются от и ).

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты: если , то наклонная асимптота вырождается в горизонтальную , при условии, что . Если параметр , то горизонтальной асимптоты нет.

6. Полная схема исследования функции с помощью производных.

Из изложенного материала следует следующая схема исследования функции с помощью производных:

1. Находят область определения функции. При наличии точек разрыва II рода изучают поведение функции в их малой окрестности, т.е. вычисляют лево- и правосторонние пределы. При задании функции словесным образом также вычисляют лево- и правосторонние пределы для граничных точек интервалов, на которых функция описывается разными формулами.

2. Находят точки пересечения с координатными осями.

3. Определяют четная, нечетная или общего вида заданная функция.

4. Определяют периодическая или непериодическая заданная функция.

5. Находят критические точки, решая уравнение , и определяют точки, в которых первая производная функции не существует. Точки откладывают на числовой оси и определяют знак первой производной на каждом интервале, определяя тем самым интервалы возрастания ( ) и убывания ( ) функции. Используя первый достаточный признак существования экстремума, находят точки экстремума и вычисляют значение функции в этих точках.

6. Находят точки подозрительные на перегиб, решая уравнение , и определяют точки, в которых вторая производная функции не существует. Точки откладывают на числовой оси и определяют знак второй производной на каждом интервале, определяя тем самым интервалы вогнутости ( ) и выпуклости ( ) функции. Используя достаточный признак существования точки перегиба, находят точки перегиба и вычисляют значение функции в этих точках.

7. Находят асимптоты графика функции.

8. Результаты исследования заносят в сводную таблицу.

9. По данным таблицы строят схематичный график функции.

При нахождении области определения функции надо помнить о действиях, запрещенных в области действительного переменного:

– нельзя делить на нуль, поэтому выражение, стоящее в знаменателе дроби, не должно равняться нулю;

– нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа, поэтому выражение, стоящее под корнем четной степени, должно быть неотрицательным ( );

– основание логарифмической функции должно быть строго положительным и не равным единице;

– выражение, стоящее под логарифмом, должно быть строго положительным;

– выражение, стоящее под знаком или , по модулю не должно превышать единицу ( ).

Пример 7. Исследовать и построить схематичный график функции .

Используя схему исследования графика функции с помощью производных, найдем:

1. .

2. Найдем точки пересечения графика функции с координатными осями

, т.е. – точка пересечения с осью абсцисс;

, т.е. – точка пересечения с осью ординат.

3. Вычислим – функция общего вида.

4. Функция непериодическая.

5. Найдем первую производную функции , которая существует на всей числовой оси, найдем критические точки, решая уравнение

.

Отложим найденную точку на числовой оси и определим знак первой производной на каждом интервале

- +

-1

Из рисунка видно, что и . Так как при переходе слева направо через точку первая производная меняет свой знак с “-” на “+”, то в этой точке наблюдается минимум. Вычислим значение функции в минимуме .

6. Найдем вторую производную функции , которая существует на всей числовой оси, следовательно, найдем точки, подозрительные на перегиб, решая уравнение . Отложим найденную точку на числовой оси и определим знак второй производной на каждом интервале

- +

-2

Из рисунка видно, что и . Так как при переходе слева направо через точку вторая производная меняет свой знак, то в этой точке наблюдается точка перегиба. Вычислим значение функции в точке перегиба .

7. Найдем асимптоты графика функции, для чего вычислим угловой коэффициент прямой

.

Таким образом, при асимптот нет, а при возможна горизонтальная асимптота. Вычислим параметр

.

График функции имеет горизонтальную асимптоту при .

8. Построим сводную таблицу

Интервал

- точка пересечения с координатными осями.

- горизонтальная асимптота.

9. Построим схематичный график функции, выбрав по координатным осям разные масштабы измерения

-2 -1

- 0.27

- 0.37

Самостоятельная работа № 5 Дифференциальное исчисление

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определением производной.

2. Продифференцировать указанные функции.

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным линиям либо в указанной точке, либо при указанном значении параметра.

5. Найти углы, под которыми пересекаются указанные линии.

6. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

7. Провести полное исследование и построить графики указанных функций.