3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

О1. График функции называется выпуклым на интервале , если он лежит ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции на заданном интервале.

О2. График функции называется вогнутым на интервале , если он лежит выше любой касательной, проведенной к графику этой функции на заданном интервале.

Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции на том или ином интервале определяются теоремой:

Т3. Если вторая производная функции на интервале существует и положительна, то на этом интервале график функции будет вогнутым. Если вторая производная функции на интервале существует и отрицательна, то на этом интервале график функции будет выпуклым.

Пример 3. Определить интервалы вогнутости и выпуклости графика функции .

Найдем вторую проризводную от заданной функции . В силу того, что вторая производная , то график функции будет вогнутым на всей числовой оси.

Пример 4. Определить интервалы вогнутости и выпуклости графика функции .

Найдем вторую проризводную от заданной функции . В силу того, что

, то график функции будет выпуклым при отрицательных значениях аргумента и вогнутым при положительных значениях аргумента.

О3. Точка, отделяющая вогнутую часть графика функции от выпуклой (или выпуклую часть графика функции от вогнутой), называется точкой перегиба.

Выясним необходимые и достаточные условия существования точек перегиба.

4. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

Рассмотрим необходимое условие существования точки перегиба.

Т4. Если функция дважды непрерывно дифференцируема на некотором интервале, содержащем точку перегиба , то в точке перегиба вторая производная равна нулю, т.е. .

Обращение в нуль второй производной функции в точке перегиба является необходимым, но не достаточным условием существования такой точки на графике функции.

Пример 5. Доказать, что точка не является точкой перегиба графика функции .

Если вычислить вторую производную от заданной функции, то она будет равна . Если приравнять это выражение к нулю, то получим, что точка должна быть точкой перегиба графика функции . Однако график этой функции на всей числовой оси является вогнутым, т.е. точка не является точкой перегиба графика функции .

В связи с этим рассмотрим достаточное условие существования точки перегиба.

Т5. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на некотором интервале, вторая производная которой в точке , принадлежащей этому интервалу, обращается в нуль ( ) или не существует. Если при переходе через точку вторая производная функции меняет свой знак, то точка определяет точку перегиба графика функции .

Пример 6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Найдем втотрую производную заданной функции . Найдем точки подозрительные на перегиб: а) б) - не существует знаменатель дроби обращается в ноль при и . Отложим эти точки на числовой оси и определим знак второй производной на каждом интервале:

+ - -

-3 0

Из рисунка видно, что точка является точкой перегиба, так как при переходе через нее вторая производная изменяет свой знак. Точка не является точкой перегиба, так как при переходе через нее вторая производная не изменяет своего знака.