7 Дослідження стійкості імпульсних систем автоматичного управління

7.1 Мета роботи

Метою роботи є дослідження методів оцінки стійкості імпульсних систем автоматичного управління та впливу параметрів системі на її стійкість.

7.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до лабораторної роботи студенти повинні повторити відповідний лекційний матеріал і дані практичних занять. Ознайомитися з матеріалами що наведені у літературі [3-9], а саме: V-перетворення, методи дослідження імпульсних систем на стійкість.

Програмою досліджень лабораторної роботи є: оцінка стійкості імпульсної системи за допомогою алгебраїчних та частотних методів.

Стійкість імпульсної системи автоматичного управління залежить від її характеристичного рівняння:

(7.1)

Ліва частина характеристичного рівняння називається характеристичним поліномом. Характеристичний поліном імпульсної системи збігається з її власним оператором і знаменником її передавальної функції.

Характеристичний поліном замкнутої імпульсної системи при одиничному негативному зворотному зв'язку дорівнює сумі поліномів чисельника і знаменника передавальної функції розімкнутого системи.

Для того щоб імпульсна система автоматичного управління була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі корені її характеристичного рівняння були по модулю менше одиниці або щоб вони знаходилися усередині одиничного кола на комплексній площині коренів характеристичного рівняння.

Критерії стійкості імпульсних САУ дозволяють визначати чи знаходяться всі корені характеристичного рівняння всередині одиничного кола, не обчислюючи їх.

Для того, чтобы можно было воспользоваться критериями устойчивости для разработанными для линейных непрерывных систем необходимо применить v-преобразование.

Для того, щоб можна було скористатися критеріями стійкості, розробленими для лінійних систем необхідно застосувати v-перетворення.

. (7.2)

При v-перетворенні окружність одиничного радіусу на площині z переходить в уявну вісь на v-площині, а нутро одиничного кола на z-площині - в ліву півплощини на -площині.

Підставимо в характеристичне рівняння (7.1) вираз . Тоді після перетворення отримаємо рівняння:

, (7.3)

де – постійні коефіцієнти, які визначаються через коефіцієнти .

Якщо скористатися рівнянням (7.3), то для дослідження стійкості імпульсної системи можна використовувати алгебраїчні та частотні критерії стійкості лінійних систем.

Алгебраїчний критерій стійкості Гурвіца формулюється так: для того, щоб імпульсна система автоматичного управління була стійкою, необхідно та достатньо, щоб усі визначники Гурвіца були додатними при .

Алгебраїчний критерій стійкості Льєнара–Шипара формулюється так: якщо додатні всі коефіцієнти характеристичного рівняння системи, то для її стійкості необхідно та достатньо, щоб були додатними всі визначники Гурвіца з парними або непарними індексами.

Для того, щоб оцінити стійкість імпульсної системи за допомогою частотних критеріїв, розроблених для лінійних систем, в дискретній передавальній функції розімкнутої імпульсної системи перейдемо до змінної :

.

Підставивши сюди , отримаємо:

,

де – псевдочастотна передавальна функція,

– псевдочастота.

Характеристики, які побудовані по псевдочастотній передавальній функції називаються псевдочастотними характеристиками.

Частотний критерій стійкості Михайлова формулюється так: для того, щоб імпульсна система автоматичного управління була стійкою, необхідно та достатньо, щоб псевдокрива Михайлова при зміні частоти від 0 до , починаючись при на дійсній додатній півосі, обходила послідовно квадрантів (чвертей) координатної площини проти руху годинникової стрілки, не потрапляючи в початок координат.

Якщо задана структурна схема імпульсної системи, то для оцінки її стійкості за критерієм Михайлова, необхідно виконати такі дії:

– отримати дискретну передавальну функцію досліджуваної імпульсної САУ,

– скласти характеристичне рівняння імпульсної САУ в -змінних (7.1),

– отримати характеристичне рівняння імпульсної САУ в -змінних (7.3),

– в отримане рівняння підставити ,

- в отриманому поліномі виділити уявну та дійсну частини ,

– побудувати псевдокриву Михайлова,

– зробити висновок о стійкості системи.

Частотний критерій Найквіста формулюється так: для того, щоб замкнута імпульсна система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб псевдочастотна АФЧХ її розімкнутої системи зі зростанням частоти від 0 до охоплювала точку в додатному напрямку, тобто проти руху годинникової стрілки, разів, де – кількість правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи.

Зокрема, якщо розімкнута імпульсна система стійка ( ), то для того, щоб замкнута імпульсна система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб псевдочастотна АФЧХ її розімкнутої системи не охоплювала точку .

Якщо задана структурна схема імпульсної системи, то для оцінки її стійкості за критерієм Найквіста, необхідно виконати такі дії:

– отримати дискретну передавальну функцію досліджуваної розімкненої імпульсної САУ,

– зробити підстановку та отримати ,

– розрахувати псевдочастотну передавальну функцію, зробивши в підстановку ,

– за отриманою функцією будується псевдочастотна АФЧХ,

– скласти характеристичне рівняння розімкненої імпульсної САУ в -змінних (7.1),

– отримати характеристичне рівняння розімкненої імпульсної САУ в -змінних (7.3),

– порахувати кількість правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи,

– зробити висновок о стійкості системи.

7.3 Опис лабораторної установки

Лабораторна робота виконується в середовище Matlab за допомогою пакету моделювання динамічних систем Simulink. Опис лабораторної установки наведений в пункті 1.3.

7.4 Порядок виконання роботи та методичні вказівки щодо її виконання

7.4.1 Задати в системі MatLab передавальну функцію неперервної частини імпульсної САУ згідно з варіантом (Додаток Е).

В системі MatLab передавальні функції систем задаються за допомогою функції tf. Передатна функція ланки

у MatLab її можна задати в такий спосіб:

W=tf([10 10],[0.01 0.11 1.1 1]).

7.4.2 Для заданої неперервної передавальної функції (табл. Е.1)отримати дискретну передавальну функцію розімкненої системи.

Аналіз і синтез дискретних систем управління провести за допомогою MatLab, застосувавши до передавальної функції безперервної системи спеціальну функцію с2d. Формат функції:

Wz=c2d(W,T,’zoh’),

де Wz – передавальна функція дискретної системи; Ws – передавальна функція безперервної системи; Т – період квантування; ’zoh’ – екстраполятор нульового порядку.

Отримати перехідну характеристику дискретної системи за допомогою функції step(Wz).

7.4.3 Провести моделювання дискретної перехідної характеристики досліджуваної системи в пакеті Simulink.

Зібрати в пакеті Simulink віртуальний макет (рис.7.1 ) САУ. Що має три гілки: перша у своєму складі має передавальну функцію (Transfer Fcn з бібліотеки Continuous) лінійної частини, яка задана у індивідуальному завданні, друга – неперервну передавальну функцію (Transfer Fcn з бібліотеки Continuous) та екстраполятор нульового порядку (Zero-Order Hold з бібліотеки Discrete), третя – дискретну передавальну функцію розімкненої системи (Discrete Transfer Fcn з бібліотеки Discrete), яку отримали на попередньому етапі роботи.

Рисунок 7.1 – Макет для дослідження імпульсних САУ

Для зміни значень блоків, необхідно двічі натиснути ліву кнопку миші та внести відповідні зміни. Так при внесенні змін до блоку Discrete Transfer Fcn необхідно зазначити ще й крок дискретизації (рис. 7.2).

Рисунок 7.2 – Внесення змін у блок з дискретною передавальною функцією

Провести моделювання та отримати на осцилографі графіки перехідної характеристики для досліджуваних САУ.

7.4.4 Дослідити імпульсну САУ на стійкість за допомогою перехідної характеристики.

Для дослідження стійкості імпульсної САУ необхідно зібрати віртуальний макет (рис.7.3).

Рисунок 7.3 – Макет для дослідження стійкості імпульсної САУ

Запустити процес моделювання та отримати графік перехідної характеристики імпульсної САУ на осцилографі. Якщо за графіком неможливо встановити вид перехідного процесу, необхідно встановити більший час моделювання.

7.4.5 Дослідити стійкість системи за її характеристичним рівнянням. Для цього потрібно визначити корені характеристичного полінома імпульсної САУ, що збігаються з полюсами переданої функції Wz. Для цього у командному вікні набрати команду pole(Wz).

Функція pzmap автоматично будує графік розташування на комплексній площині полюсів та нулів передавальної функції. Нулі на діаграмі позначаються кружечками, а полюси – хрестиками (рис.7.4).

Рисунок 7.4 – Полюси та нулі передавальної функції на комплексній площині

7.4.6 Застосування v-перетворення.

Для того, щоб можна було оцінити стійкість імпульсних систем за допомогою критеріїв стійкості, які розроблені для неперервних систем, необхідно застосувати v-перетворення.

Розглянемо приклад з передатною функцією імпульсної системи, яку отримали на попередньому етапі. Для отримання псевдочастотної дискретної передавальної функції та побудови її графіка АФЧХ необхідно в командному вікні MatLab ввести послідовність команд (рис.7.5).

Рисунок 7.5 – Фрагмент програмного коду для побудови АФЧХ імпульсної системи

7.4.7 Оцінка стійкості за допомогою критерію Михайлова.

Задамо в командному вікні характеристичне рівняння замкненої системи в -змінних та проведемо заміну v на jw (рис.7.6).

Рисунок 7.6 – Фрагмент програмного коду для проведення підстановки jw в характеристичне рівняння замкненої САУ в -змінних

Для побудови псевдокривої Михайлова необхідно використати програмний код (рис.7.7).

Рисунок 7.7 – Фрагмент програмного коду для побудови псевдокривої Михайлова

7.5 Зміст звіту

Оформлення матеріалів звіту оговорюється у загальних положеннях до методичних вказівок.

У теоретичній частині необхідно навести передавальну функцію неперервної частини досліджуваної системи, дискретну передавальну функцію розімкнутої системи, дискретну передавальну функцію замкнутої системи. Скласти характеристичне рівняння розімкненої і замкненої систем. Одержати вирази для дискретної частотної передавальної функції розімкненої системи, визначити дійсну та уявну частини.

В експериментальній частині необхідно привести всі отримані характеристики.

7.6. Контрольні запитання та завдання

1. Визначення імпульсних САУ.

2. Види імпульсної модуляції.

3. Які три операції містить у собі Z-перетворення?

4. Як пов'язана стійкість імпульсної системи з коренями характе­ристичного рівняння

5. Як визначити дискретну передавальну функцію розімкнутої системи?

6. Як визначити дискретну передавальну функцію замкнутої системи?

7. Як визначити дискретну частотну передавальну функцію системи?

8. Алгебраїчні критерії стійкості імпульсних систем.

9. Частотні критерії стійкості імпульсних систем.