Жиындар теориясы. Жиындар және оларға қолданылатын амалдар.

1. Жиын түсінігі

2. Жиындардың берілу тәсілі

3. Негізгі анықтамалар

4. Эйлер – Венн диаграммасы

5. Жиындарға қолданылатын амалдар

6. Жиындар алгебрасы заңдары

1. Жиын түсінігі. Жиындар теориясы мынандай үш алғашқы түсінікке негізделеді:

1) жиын;

2) элемент;

3) тиістілік.

Бұл түсініктерге нақты анықтамалар берілмейді, тек қана олардың қолданылуы ғана сипатталады.

1.1 суретте А әрпімен жиын белгіленген, оның элементтері жазықтықтың штрихталған бөлігі болып табылады, сонымен қатар а нүктесі А жиынына тиісті ( ), с нүктесі А жиынына тиісті емес ( )..

2. Жиындардың берілу тәсілдері

Жиынды оның барлық элементтерін түгендеу арқылы беруге болады: , . Жиынның элементтерінің ретін кез келген ретте жаза беруге болады. Әдетте жиынды оның сипаттауыш қасиеттерін көрсету арқылы береді, ол әрбір элемент сол жиынға жататын, жатпайдындығын көрсетеді. Мысалы,

– теңдеуінің бүтін түбірі},

– бүтін }.

Төменде белгілі сан жиындарын былай белгілейміз:

 = { 1,2,3,…} – натурал сандар жиыны;

Z = { …, -2,-1,0,1,2,…} – бүтін сандар жиыны;

Q – рационал сандар жиыны;

R – нақты сандар жиыны.

3. Негізгі анықтамалар

Құр жиын деп  құрамында бірде бір элементі жоқ жиынды айтамыз, яғни кез келген x элементі үшін  орындалады.

Әмбебап жиын деп берілген есепте қарастырылып жатқан U жиынының барлық элементтерін айтамыз.

Мысал. Айталық U = Z болсын және теңдеуінің барлық шешімін табу керек. Осы есептің шешімі М құр жиын: М = .

Айталық енді U = R болсын. Онда теңдеуінің шешімі М жиыны құр емес болады: М = .

А жиыны В жиынына кіреді деп айтамыз, егер А жиынының әрбір элементі В жиынының элементі болса (сондай-ақ А жиыны В жиынының ішкі жиыны деп аталады) Кіру анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады:

кез келген А жиыны үшін;

1. Егер және , онда ;

2.  кез келген А жиыны үшін;

3. U кез келген А жиыны үшін.

Жиындардың теңдігі түсінігін анықтайық А=В болады сонда тек сонда ғана , қашан бір уақытта екі кіру(ену) орындалса: и , яғни А жиынының әрбір элементі В жиының да элементі болады және В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болып табылады.

4. Эйлер – Венн диаграммасы

Бұл диаграммалар жиындарды көрнекі түрде бейнелеу үшін және олардың өзара орналасуы үшін қажет.

Әмбебап U жиыны тіктөртбұрыш түрінде бейнеленеді, ал кез келген жиын - әмбебап жиынның ішкі жины – дөңгелек түрінде бейнеленеді. (1.2 сурет).

5. Жиындарға қолданылатын амалдар

А және В жиындарының бірігуі деп элементтері А және В жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті жиынды айтады. ( 1.3, а сурет).

Мысал. Егер болса, онда болады.

А және В жиындарының қиылысуы деп элементтері бір уақытта А жиынына да, В жиынына да тиісті болатын жиынды айтамыз. (1.3, б сурет).

М ысал. Еггер болса, онда болады.

А және В жиындарының айырымы деп элементтері А жиынына тиісті, бірақ В жиынына тиісті емес жиынын айтады. (1.4, а сурет).

Мысал. ;

.

А жиынының U әмбебап жиынына дейінгі толықтауышы деп U жиынын айтады. (1.4, б сурет).

М ысал. Егер , U болса, онда U .

Жиынның элементтерінің өзі жиын болуы мүмкін: ; бұл жағдайда жиындар жүйесі жайлы айтқан ыңғайлы. Булеан және жиындарды бөліктеу сияқты жиындар жүйесін қарастырайық..

Х жиынының B(Х) булеаны деп Х жиынының барлық ішкі жиындарының жүйесін айтады. Мысалы, жиыны үшін булеан B , жиыны болады.

Х жиынының бөліктеуі деп біріккенде Х жиынын беретін оның құр емес қиылыспайтын ішкі жиындар жүйесін айтады. ( 1.5 сурет).

Мысалы, жиыны үшін екі элементтен тұратын бөліктеуді былай құруға болады: R₁ (олар бөліктеу блоктары деп аталады), немесе R₂ -төрт блоктан тұратын бөліктеу, бұл жиынды бөліктеудің басқа да тәсілдері бар.