2. Эйлер шынжыры мен циклдары

Е сеп. графы берілсін. G графының барлық қабырғаларынан тура бір рет өтетіндей цикл (шынжыр) құру керек. Бұндай цикл (шынжыр), егер бар болса, онда ол Эйлер циклі (шынжыры) деп, ал G графы –Эйлер графы деп аталады. Бұл есепті көбінесе былай қояды: қаламды қағаздан алмай және бір түзудің бойымен екі рет өтпей берілген жазық фигураны салу керек. (3.14 сурет).

Теорема 1 (эйлер циклі жайлы) G графында эйлер циклі бар болу үшін 1) ол байламды болуы; 2) барлық төбелерінің дәрежесі жұп болуы қажетті және жеткілікті.

Жеткіліктілігі. Айталық G графында эйлер циклі бар болсын. Онда G графы байламды (кез келген төбелер жұбын эйлер циклінің бір бөлігі боп табылатын шынжырмен қосуға болады), және әрбір төбенің дәрежесі жұп: себебі эйлер циклінің барлық қабырғалары әр түрлі.

Жеткіліктілігін индукция m қабырғалар санымен дәлелдейік.

Индукцияның негізі. болғанда теореманың дұрыстығын тексерейік. Айталық G графы байламды және оның барлық төбелерінің дәрежесі жұп болсын. Онда граф 3.15, а суреттегідей түрде ғана болады. бұдан онда эйлер циклі бар екенін көруге болады.

Индукциялық ауысу. Теорема қабырғаларының саны болатын барлық графтар үшін орындалады деп жориық. Теорема сондай – ақ қабырғаларының саны болатын графтар үшін де орындалатындығын көрсетейік. Айталық, байламды граф болсын, оның барлық төбелерінің дәрежесі жұп және

Так как число вершин графа G графының төбелерінің саны ақырлы болғандықтан, ендеше онда циклі бар болады (3.15, б суретте қою сызықпен бөліп көрсетілген). Егер де циклінің құрамында G графының барлық қабырғалары бар болса, онда ол ізделінді эйлер циклі болады. Егер де құрамында G графының барлық қабырғалары болмаса, онда G графының G ішкі графын -да бар қабырғаларын алып тастап құрамыз (3.15, в). G ішкі графы байламды болуы қажет емес, алайда оны байламдылық компоненттеріне бөлуге болады. (3.15 в суретте, ). Әрбір байламдылық компоненті барлық төбелері жұп дәрежеге ие болатын, ал қабырғалары болатын байламды граф болып табылады. Индукциялық ұйғарым бойынша әрбір графы үшін , эйлер циклін құруға болады. Берілген G граф байламды болғандықтан, онда циклі барлық , циклдарымен ортақ төбесі болады. Ендеше G –ғы ізделінді эйлер циклі циклдерінің бірігуі болады. Индукциялық ауысу осымен дәлелденді.

Бұдан теорема қабырғаларының саны кез келген болатын граф үшін де орындалады. Теорема 2 (эйлер шынжыры жайлы). G графында эйлер шынжыры сонда тек сонда ғана бар болады, қашан: 1) G графы байламды; 2) G графында тақ дәрежелі дәл екі төбе бар болса.

2 теорема 1 теоремаға сәйкес дәлелденеді.

Цикломатикалық сан

Айталық графында төбелердің саны- , байламдылық компоненттерінің саны k –ға тең. G графының цикломатикалық саны деп саны аталады.

М ысалы. Әрбір , графы үшін цикломатикалық санды анықтайық (3.16 сурет).

графы бос граф болып табылады және ол үшін , сондықтан да . графы үшін аламыз. үшін - ал .

Теорема. Графтың цикломатикалық саны нөлге сонда тек сонда ғана тең болады қашан, графта цикл болмаған жағдайда.

Расында да, айталық болсын. графының қабырғасын алып тастап остовты(қаңқа) ішкі графын қарастырайық. Егер де G графында құрамында қабырғасы бар ең болмағанда бір цикл бар болса, онда байламдылық компоненті өзгереді; ал егер де бұндай бір де бір цикл болмаса, онда байламдылық компонентінің саны бір бірлікке өседі: . Сондықтан да . Бұл тұжырымды бір қабырғадан алып тастай отырып, бос ішкі графын алғанға дейін жалғастырамыз. ішкі графтарының шынжыры үшін келесі теңсіздік орындалады:

,

сонымен қатар , және де теңдік белгісі бүкіл шынжыр бойында сонда тек сонда ғана сақталады, қашан бірде бір циклға кірмейтін қабырғалар алынып тасталса. Сондықтан да теңдігі сонда тек сонда ғана орындалады, қашан G графында цикл болмаса.

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Нұрсұлтанов Қ.Н., Дискретті математика және математикалық логика. – Семей 2002.

2. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. –М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002.

3. Смыслова З.А.. Дискретная математика (Учебное пособие), Томск, 2000.

4. Қ.Жетпісов., Математикалық логика және дискретті математика. Алматы, 2011.

5. Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических заниятий.- СПБ.: БХВ-Петербург 2005. - 416стр.

6. Тишин В.В. Дискретная математика в задачах и примерах. БХВ-Петербург 2008.

Дәріс 15

Дәріс сабақтың құрылымы:

Циклсіз графтар

1. Тал және орман

2. Талдардың қасиеттері

3. Графтың каркасы