Баланс мощностей в цепях переменного тока

Комплексной мощностью называется произведение комплекса действующего значения напряженияна сопряжённый комплекс действующего значения тока.

Знак мнимой части сопряжённого комплекса изменён на обратный () знак заданного комплексного числа (пример:,)).

Пусть на участке электрической цепи известно напряжение , ток. Сопряжённый ток равен:.

Тогда полная комплексная мощность данного участка равна:

,

где – сдвиг фаз между напряжением и током.

, [Вт] – активная мощность участка,

, [ВАр] – реактивная мощность участка.

Знак «+» перед соответствует индуктивному характеру сопротивления, знак «–» соответствует ёмкостному характеру.

При выполнении условия баланса мощностей активная и реактивная мощности источников питания должны равняться потребляемым активной и реактивной мощностям.

Мощности источника Э.Д.С. определяем по формуле:

,

где – сопряжённый комплекс тока в ветви с источником Э.Д.С.

Мощность источника тока:

,

где – напряжение на зажимах источника тока;

–сопряжённый ток источника тока.

Мощность источника Э.Д.С. входит в выражение баланса со знаком «+», если направление Э.Д.С. источника и тока в этой ветви совпадают; если направления Э.Д.С. источника и тока не совпадают, то мощность источника Э.Д.С. отрицательная.

Мощность источника тока входит в выражение баланса со знаком «+», если ток источника и напряжения на его зажимах направлены навстречу друг другу. При совпадении направлений тока источника и напряжения мощность источника отрицательная.

Активная и реактивная мощности потребителей равны соответственно:

, [Вт],

где – модуль действующего значения тока i–ой ветви.

, [ВАр],

где – эквивалентное реактивное сопротивление i–ой ветви.

При выполнении условия баланса мощностей:

;

.

Примеры расчёта цепей однофазного синусоидального тока

Пример 6.1

	Дано: ,,, Определить токи в ветвях, составить и рассчитать баланс мощностей для схемы на рис. 6.1.
Рис. 6.1

Решение

Для расчёта будем использовать метод контурных токов.

Значение контурного тока принимаем равным величине источника тока. Уравнение составляем для контурного тока:

.

Выражаем ток из предыдущего уравнения:

.

Ток в третьей ветви равен контурному току ,. Запишем этот ток в показательной форме комплексного числа:

.

Ток во второй ветви определим как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих через данную ветвь:

.

Полная мощность приёмников определяется по формуле:

.

Активную мощность приёмников в данной схеме определим по следующей формуле:

.

Реактивную мощность приёмников определяем по формуле:

.

Полная мощность, выделяемая в систему источниками, определяется по формуле:

,

где

.

Вывод:

;

.

Выполнение баланса мощностей подтверждает правильность решения задачи.

Ответ: ;.

Пример 6.2

Рис. 6.2

Дано: , , ,,,. Для схемы на рис. 6.2 рассчитать ток в неразветвлённой части схемы. Записать.

Решение

Записываем функцию времени в виде показательной формы комплексного числа:

.

Определяем входное сопротивление схемы относительно зажимов источника напряжения:

.

Мгновенное значение тока имеет вид:

.

Ответ: .