Решение

В схеме 4 узла. В ветвях 3 и 6 включены идеальные источники Э.Д.С., эти ветви соединяются в узле 4. По формуле (4.1) определяем число уравнений: .

Действительно, если за базисный узел принять узел 4 (но также можно принять узел 1 или 3), то сразу определяем и. Неизвестным является узловое напряжение.

Уравнение по методу узловых напряжений имеет вид:

.

где

;

;

;

;

;

.

Определяем токи ,,,,по закону Ома:

; ;

; ;.

Токи иопределяем по первому закону Кирхгофа:

;

.

Ответ: ,,,,,.

Пример 4.3

	Дано: ; ; ; ; ;.
Рис. 4.3

Решение

Особенностью схемы является наличие двух ветвей с идеальными источниками Э.Д.С., которые расположены в ветвях, не имеющих общего узла. В этом случае цепь подвергается следующему преобразованию. В одной из ветвей, содержащих идеальный источник Э.Д.С. (например ветвь с ), включают компенсирующую Э.Д.С., равнуюпо величине и противоположную по направлению. Точно такая же Э.Д.С.включается во все соседние ветви, сходящиеся в одном из узлов данной ветви. Направления включаемых Э.Д.С. по отношению к этому узлу сохраняется (рис. 4.4). Токораспределение в цепи не изменяется.

Рис. 4.4

Рисунки 4.5 а, б, в – демонстрируют это преобразование.

Теперь схема (рис. 4.5 в) содержит только одну ветвь с идеальным источником Э.Д.С. . Потенциалы узлов 1 и 2 равны, т.к. их соединяет короткозамкнутый участок (рис. 4.5 а). Следовательно ветвь с можно удалить из схемы. Примем узел 4 за базисный, тогда

.

Уравнение по методу узловых напряжений имеет вид:

_,

где

; ;;

; ;.

а

б

в

Рис. 4.5

Переходим к исходной схеме (рис. 4.3). Запишем уравнение по 1–ому закону Кирхгофа для узла 3:

,

откуда

.

Запишем уравнение по 1–му закону Кирхгофа для узла 4:

,

откуда

.

Ток в ветви 5 определим по закону Ома:

.

Ток в ветви с идеальной Э.Д.С. определим по 1–му закону Кирхгофа:

.

Ответ: ,,,,.

Пример 4.4

	Дано: ; ;;;;. Определить токи в схеме рис. 4.6 методом узловых напряжений.
Рис. 4.6

Решение

За базисный узел в данной схеме можно принимать 1–ый, 2–ой или 3–ий узлы. Рассмотрим решение задачи в случае, если за базисный принят потенциал 3–го узла. Тогда:

.

Поскольку узлы 1 и 2 связаны с 3–им узлом ветвями, содержащими только идеальные источники Э.Д.С. , то:

;

.

Остаётся определить потенциал 4–го относительно 3–го базисного. Составляем одно уравнение:

,

где

–взаимная проводимость между 1 и 4 узлами;

–взаимная проводимость между 2 и 4 узлами;

–собственная проводимость 4 узла.

Решаем уравнение:

,

откуда:

.

На основании обобщённого закона Ома для участка цепи, определяем токи:

,

откуда

;

;

;

;

.

Токи в четвёртой и пятой ветвях определим по 1–му закону Кирхгофа:

;

.

Ответ: ,,,,.

Пример 4.5

	Дано: Определить токи в схеме рис. 4.7 методом двух узлов.
Рис 4.7

Решение

За базисный принимаем второй узел: Записываем формулу по методу двух узлов:

где

–узловой ток первого узла;

–собственная проводимость первого узла.

Тогда

;

.

Внимание! В собственной проводимости первого узла отсутствует слагаемое, так как ветвь, содержащая идеальный источник тока, имеет бесконечно большое сопротивление, а значит её проводимость будет стремиться к нулю.

Определим напряжение :

Используя обобщенный закон Ома для участка цепи запишем:

Следовательно, токи в цепи определяются по следующим формулам:

Ответ: