Метод узловых напряжений Основные теоретические положения

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разность потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

Положительное направление узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

(4.1)

где – количество узлов цепи,– количество идеальных источников Э.Д.С.

Для произвольной схемы, содержащей узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

(4.2)

где – собственная проводимость узла .

–взаимная проводимость ветви, соединяющей узлы .

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Выражение, стоящее в правой части уравнений системы, называют «узловой ток».

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений иисточника тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если Э.Д.С. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «–».

Из системы (4.2) видно, что собственные проводимости входят в уравнения со знаком «+», а взаимные проводимости – со знаком «–».

Алгоритм расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

1) Выбираем базисный узел. Желательно нулевой потенциал присвоить тому узлу, где сходится большее количество ветвей.

Запомнить! Если в составе цепи имеется одна или несколько ветвей, содержащих идеальные Э.Д.С. (сопротивление таких ветвей равно нулю), то за базисный принимают один из узлов, между которыми находится ветвь с идеальной Э.Д.С.

2) Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (4.2).

3) Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

4) Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

.

Частным случаем метода узловых напряжений является метод двух узлов. Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных Э.Д.С.) составляется только одно уравнение:

.

Примеры расчета линейных электрических цепей методом узловых напряжений

Пример 4.1

Рис. 4.1

Дано: ; ;;;;Определить все токи в схеме рис. 4.1 методом узловых напряжений.

Решение

Цепь содержит три узла, ветви с идеальными Э.Д.С. отсутствуют. Число необходимых уравнений, определяемое по формуле (4.1), равно двум. В качестве базисного выбираем третий узел.

Система уравнений имеет вид:

,

где

;

;

;

;

.

В результате решения определяем:

;

.

Токи ветвей определяем по обобщенному закону Ома:

;

;

;

;

.

Правильность решения задачи целесообразно проверить составлением и расчетом баланса мощностей.

Уравнение баланса мощностей:

;

;

.

Мощность приемников равна мощности потребителей, т.е. баланс мощностей выполняется.

Проверим выполнение второго закона Кирхгофа для внешнего контура.

Второй закон Кирхгофа:

;

;

.

Ответ: , ,,,.

Пример 4.2

	Дано: ;;;;;; ; ;.
Рис. 4.2

Определить токи в схеме рис. 4.2 методом узловых напряжений.