Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Пусть A_p (A - число, p - основание системы) - число в системе счисления с основанием p, требуется перевести в систему счисления с основанием q. Перевод осуществляется следующим образом: путём последовательного деления числа А_p частных на q получаем в виде остатков от деления p - ичные записи q - ичных цифр, начиная с младших, необходимых для изображения числа А_q, первое полуученое значение частного < q определяет старшую цифру числа А_q, что фиксирует окончание перевода. Деление всегда должно производиться в исходной системе счисления

Пример:

Требуется перевести число 139₁₀ в 2-ную, 8-ную, 4-ную системы счисления.

Решение:

1)  139 69 34 17 8 4 2 1 0 - частное

     1 1 0 1 0 0 0 1 - остаток

     10001011₂ = 1*2⁷+1*2³+1*2¹+1*2⁰ = 139₁₀

2)  139/8 = 17, остаток 3

     17/8 = 2, остаток 1

     2/8 = 0, остаток 2

     213₈ = 2*8²+1*8¹+3*8⁰ = 128+8+3 = 139₁₀

3)  139/4 = 34, остаток 3

      34/4 = 8, остаток 2

      8/4 = 2, остаток 0

      2/4 = 0, остаток 2

      2023₄ = 2*4³+2*4¹+3*4⁰ = 128+8+3 = 139₁₀

Двоичная система счисления

Под двоичной системы исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа - 0 и 1. Веса разрядов изменяются по закону:

2^¦k, kZ

В вычислительной технике используется двоичная система исчисления, так как элементы имеют 2 состояния, а их легче реализовывать, чем множество состояний. Например, триггер условно принимает 2 состояния + и -, 1 и 0, Да и Нет.

Цифра двоичной системы - бит. Восемь цифр - байт.

Пример: сложение двух чисел

1001+1010 = 10011

9₁₀+10₁₀ = 19₁₀

0+0 = 0 0-0 = 0 0*0 = 0

1+0 = 1 1-0 = 1 1*0 = 0

0+1 = 1 0-1 = 1 0*1 = 0

1+1 = 1 1-1 = 0 1*1 = 1

Для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL)

Пример: Операция SRL

0

0

0

0

0

1

0

0

преобразуется в

0

0

0

0

1

0

0

0

Перевод чисел из одной системы в другую

       Эта страница предполагает наличие математического образования у пользователя, так как она содержит математические символы и термины.        Числа в разных системах счисления можно представить следующим образом:

А_(S) = a_nSⁿ + a_n-1S^n-1 +  ... + a₁S¹ + a₀S⁰ + a_-1S^-1 +  ... + a_-mS^-m =

=A_(R) = b_kR^k + b_k-1R^k-1 +  ... + b₁R¹ + b₀R⁰ + b_-1R^-1 +  ... + b_-pR^-p

       Поэтому в общем виде задача перевода чисел из системы счисления с основанием S в систему счисления с основанием R представляет собой либо задачу определения коэффициентов b_i по правилам S-арифметики, либо задачу вычисления А_(R) по правилам R-арифметики, исходя из того, что известны a_j и S^j.

Правило перевода целых чисел на основании S-арифметики (в той же системе счисления, в которой записано число)

       Исходное число А_(S) разделить на R по правилам S-арифметики. Полученное частное принять за исходное число и вновь разделить на R. Процесс деления очередного частного продолжать до тех пор, пока не будет получен 0. Изображение числа A_(R) в R-системе счисления получают записью остатков от деления в порядке, обратном порядку их получения.

Правило перевода целых чисел на основании R-арифметики (в другой системе счисления, чем та, в которой записано число)

       Самую старшую цифру a_n в изображении числа A_(S) умножить на Sⁿ по правилам R-арифметики. Добавить следующую цифру a_n-1 и вновь умножить на S^n-1. Умножение и сложение выполнять до тех пор, пока не будет добавлена самая младшая цифра a₀. Полученное число будет представлять собой A_(R).

Правило перевода дробных чисел, меньших единицы, на основании S-арифметики (в той же системе счисления, в которой записано число)

       Исходное число A_(S) умножить на R по правилам S-арифметики. Целая часть полученного числа представляет собой цифру b_-1 числа А_(R). Затем, отбросив целую часть, умножить дробную часть на R. При этом получается число, целая часть которого есть цифра b_-2. Повторять процесс умножения p раз, пока не будут найдены все p цифр числа A_(R).

Правило перевода дробных чисел, меньших единицы, на основании R-арифметики (в другой системе счисления, чем та, в которой записано число)

       Самую младшую цифру a_-m в изображении числа A_(S) разделить на S по правилам R-арифметики. Добавить следующую цифру a_-(m-1) и сумму вновь разделить на S. Сложение и деление выполнять до тех пор, пока не будет добавлена самая старшая цифра a_-1. Последнее число, полученное делением, представляет собой число A_(R).

       При переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую может быть получена дробь в виде бесконечного ряда. Поэтому при переводе дроби указывают либо количество разрядов числа в новой системе счисления, либо погрешность перевода.        Если требуемая абсолютная погрешность перевода равна X, то количество разрядов f определяют по формуле

f = ]log_R(1/X)[,

где ] [ означает округление до большего целого.        Для перевода смешанных чисел из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным ранее.