- •Содержание
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •1.1. Понятие математической модели. Математическая модель в задачах линейного программирования
- •1.2. Примеры задач линейного программирования
- •1.3. Графический метод решения задач линейного программирования
- •1.4. Приведение задач линейного программирования к стандартной форме
- •2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ СИМПЛЕКС-МЕТОДА
- •2.1. Пример задачи линейного программирования: задача планирования производства
- •2.2. Принцип работы симплекс-метода
- •2.3. Определение начального допустимого решения
- •2.5. Решение задач линейного программирования средствами табличного процессора Excel
- •2.6. Анализ оптимального решения на чувствительность
- •2.6.1. Статус ресурсов
- •2.6.2. Ценность ресурсов
- •2.6.3. Анализ на чувствительность к изменениям запасов ресурсов
- •2.6.4. Анализ на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции
- •3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА
- •3.1. Назначение и принцип работы методов искусственного базиса
- •3.2. Двухэтапный метод
- •3.3. Анализ оптимального решения на чувствительность
- •3.3.1. Анализ на чувствительность к изменениям правых частей ограничений “меньше или равно”
- •3.3.2. Анализ на чувствительность к изменениям правых частей ограничений “больше или равно”
- •3.3.3. Анализ на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции
- •4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •4.1. Назначение методов целочисленного программирования
- •4.2. Метод ветвей и границ
- •5. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Поиск допустимого решения
- •5.3. Поиск оптимального решения. Метод потенциалов
- •5.4. Транспортные задачи с неправильным балансом
- •5.5. Вырожденное решение
- •6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •6.1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •6.2. Примеры задач нелинейного программирования
- •6.4. Решение задач нелинейного программирования средствами табличного процессора Excel
- •7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •7.1. Постановка задачи. Принцип работы метода динамического программирования
- •7.2. Примеры решения задач на основе метода динамического программирования
- •8. АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •8.1. Понятие системы массового обслуживания
- •8.2. Потоки заявок в СМО. Законы распределения интервалов времени между заявками и времени обслуживания
- •8.3. Типовой узел СМО. Классификация СМО
- •8.4. Параметры и характеристики СМО
- •8.5. Вероятности состояний СМО
- •8.6. Экономические характеристики СМО
- •8.7. Одноканальные СМО без ограничений на очередь
- •8.8. Многоканальные СМО без ограничений на очередь
- •8.9. СМО с ограничением на длину очереди
- •8.10. СМО без очереди
- •8.11. СМО с заявками с разным временем обслуживания
- •8.12. СМО с приоритетами
- •8.13. Многофазные СМО. Сети СМО
- •8.14. Замкнутые СМО
- •9.1. Понятия риска и неопределенности. Постановка задачи
- •9.2. Методы выбора решений в условиях риска и неопределенности
- •9.2.1. Выбор решений при известных вероятностях внешних условий. Критерий Байеса
- •9.2.2. Выбор решений при неизвестных вероятностях внешних условий
- •Литература
2.6.4.Анализ на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции
Взадачах, аналогичных примеру 2.1 (определение оптимальных объемов производства нескольких изделий при ограничениях на ресурсы), изменение коэффициентов целевой функции соответствует изменению прибыли от выпуска изделия. Для анализа влияния таких изменений на оптимальное решение используются коэффициенты из строки переменной, для которой изменился коэффициент целевой функции.
Можно доказать, что если изменение коэффициента целевой функции не выходит за некоторый диапазон (определение этого диапазона будет рассмот-
рено ниже), то оптимальное решение задачи не изменяется. Изменяется только значение целевой функции, а также коэффициенты E-строки при небазисных переменных в окончательной симплекс-таблице.
Будем обозначать коэффициенты E-строки в окончательной симплекс-
таблице как Fj, j=1,...,k (где k – общее количество переменных в задаче). Выполним анализ на чувствительность к изменению прибыли от выпуска
одного корпуса для примера 2.1. Пусть эта прибыль изменилась на d ден.ед. и составляет не 100, а 100+d ден.ед. Величина d может быть как положительной (прибыль от выпуска одного корпуса увеличилась), так и отрицательной (прибыль снизилась). Если изменение прибыли не выходит за некоторый диапазон (определяемый ниже), то новые значения коэффициентов E-строки при небазисных переменных для окончательной симплекс-таблицы, а также новое оптимальное значение целевой функции можно найти следующим образом:
F3 |
= 1,33 + 0,05d |
|
F5 |
= 14,67 - 0,01d |
(2.6) |
E = 7600 + 4d, |
|
|
где F3, F5 – новые значения коэффициентов E-строки при небазисных переменных в окончательной симплекс-таблице.
Величины 0,05; -0,01 и 4 взяты из строки переменной X1 в окончательной симплекс-таблице (табл.2.4).
Пусть, например, прибыль от выпуска одного корпуса составляет не 100, а 120 ден.ед. Подставив в уравнения (2.6) величину d=20 (так как прибыль увеличилась по сравнению с первоначальной постановкой задачи на 20 ден.ед.), найдем новые значения коэффициентов E-строки в окончательной симплекс-
таблице: F3=2,33; F5=14,47. Новое оптимальное значение целевой функции составит E=7680 ден.ед. Значения коэффициентов E-строки при небазисных пе-
ременных (F1, F2 и F4) останутся равными нулю. Так как все коэффициенты E- строки остались неотрицательными, оптимальное решение задачи не изменяет-
ся: X1=4; X2=24; X3=0; X4=90; X5=0. Это означает, что в новых условиях (при увеличении прибыли от выпуска одного корпуса до 120 ден.ед.) цеху по28
прежнему следует выпускать за смену 4 корпуса и 24 задвижки. Прибыль от их выпуска составит 7680 ден.ед.
Анализ на чувствительность к изменению коэффициентов целевой функции позволяет выяснить диапазоны изменений этих коэффициентов, для которых найденное решение задачи остается оптимальным. Признаком оптимальности решения являются неотрицательные значения всех коэффициентов E-строки (см. подраздел 2.4).
Найдем диапазон изменения прибыли от выпуска одного корпуса, для ко-
торого найденное решение задачи (X1=4; X2=24; X3=0; X4=90; X5=0) останется оптимальным. Для этого необходимо, чтобы все коэффициенты E-строки оставались неотрицательными:
F3 = 1,33 + 0,05d ≥ 0 F5 = 14,67 - 0,01d ≥ 0.
Решив эту систему неравенств, получим: -26,6 ≤ d ≤ 1467. Это означает,
что найденное для задачи решение (X1=4; X2=24; X3=0; X4=90; X5=0) оптимально, если прибыль от выпуска одного корпуса будет составлять от 100-26,6 до 100+1467 ден.ед., т.е. от 73,4 до 1567 ден.ед. Для любой величины прибыли, входящей в этот диапазон, новые значения коэффициентов E-строки и целевой функции можно найти из уравнений (2.6).
Аналогично можно определить, что оптимальное решение задачи не изменится, если прибыль от выпуска одной задвижки будет составлять от 6,6 до 433 ден.ед. Для определения этого диапазона потребуется использовать коэф-
фициенты из строки переменной X2 (табл.2.4).
Если коэффициент целевой функции выходит за найденный диапазон, то для получения оптимального решения необходимо решить задачу заново, используя симплекс-метод. Новое оптимальное решение будет отличаться от прежнего не только значениями, но и составом переменных в оптимальном базисе. При этом прежнее решение (т.е. оптимальное решение исходной задачи) уже не будет оптимальным, но останется допустимым, так как оно удовлетворяет ограничениям задачи.
Например, если прибыль от выпуска одного корпуса составит 1600 ден.ед. (т.е. увеличится на 1500 ден.ед.), то для получения оптимального плана выпуска изделий необходимо решить задачу заново, изменив целевую функцию
следующим образом: E = 1600X1 + 300X2 → max. Прежнее оптимальное реше-
ние (X1=4; X2=24; X3=0; X4=90; X5=0) уже не является оптимальным. В этом легко убедиться, подставив величину d=1500 в систему уравнений (2.6): коэф-
фициент E-строки при переменной X5 принимает значение –0,33, т.е. становится отрицательным. В то же время прежнее решение остается допустимым, так
как значения X1=4 и X2=24 удовлетворяют ограничениям задачи.
29