В ячейках D4, D5 и D6 находятся значения левых частей ограничений (т.е. величины, получаемые при подстановке оптимальных значений переменных в ограничения). В данной задаче эти величины обозначают расход ресурсов. Таким образом, видно, что на выпуск 4 корпусов и 24 задвижек будет израсходовано 200 кг алюминия, 160 кг стали и 500 кг пластмассы.

2.6. Анализ оптимального решения на чувствительность

Анализ решения на чувствительность – это анализ влияния изменений в постановке задачи (запасов ресурсов, величин прибыли от выпуска изделий и т.д.) на оптимальное решение. Во многих случаях анализ на чувствительность позволяет, не решая задачу заново, найти новое оптимальное решение задачи при изменениях в ее постановке.

Примечание. Рассматриваемые методы анализа на чувствительность применимы в случаях, когда в постановке задачи изменяется только одна из величин (например, запас одного из ресурсов, прибыль от одного из изделий и т.д.). Если в постановке задачи изменяется сразу несколько величин, то для получения нового оптимального решения следует решать задачу заново.

Задачи, решаемые методами анализа на чувствительность, очень разнообразны. Рассмотрим возможности анализа на чувствительность для задач, аналогичных примеру 2.1 (т.е. для задач, где требуется определить оптимальные объемы производства нескольких изделий при ограничениях на ресурсы).

2.6.1. Статус ресурсов

По статусу ресурсы делятся на дефицитные и недефицитные. Если для реализации оптимального решения ресурс расходуется полностью, то он называется дефицитным, если не полностью – недефицитным.

Статус ресурсов определяется по значениям остаточных переменных.

В примере 2.1 алюминий и пластмасса являются дефицитными ресурсами, так как они расходуются полностью (см. подраздел 2.4). Сталь – недефи-

цитный ресурс, так как 90 кг стали остаются неизрасходованными (X4=90). Увеличение запасов дефицитных ресурсов позволяет увеличить целевую

функцию (прибыль). Снижение запасов дефицитных ресурсов приводит к снижению прибыли. Увеличение запасов недефицитных ресурсов всегда нецелесообразно, так как оно приводит только к увеличению неизрасходованных остатков. Запас недефицитного ресурса можно снизить на величину его остатка; это никаким образом не влияет на оптимальное решение (в том числе на оптимальные объемы производства и на прибыль), уменьшается только неизрасходованный остаток ресурса. Если запас недефицитного ресурса снизится на величину, превышающую его остаток, то для определения нового оптимального плана производства необходимо решать задачу заново.

В примере 2.1 увеличение запасов алюминия и пластмассы позволит увеличить прибыль. Запас стали можно снизить на 90 кг (т.е. до 160 кг); эти 90 кг стали предприятие может, например, продать или использовать в другом цехе. 24

Например, если запас стали составит не 250, а только 200 кг, то оптимальное

решение задачи будет следующим: X1=4; X2=24; X3=0; X4=50; X5=0; E= =7600 ден.ед. Таким образом, оптимальное решение не изменится (кроме снижения неизрасходованного остатка стали).

Если запас стали снизится более чем на 90 кг (т.е. составит менее 160 кг), то для определения нового оптимального плана производства необходимо решать задачу заново. Для нового оптимального решения изменятся не только значения переменных, но и состав переменных в оптимальном базисе (т.е. в оп-

тимальный базис будут входить не переменные X1, X2 и X5, а другие переменные). Значение целевой функции при этом снизится, т.е. составит менее

7600 ден.ед.

2.6.2. Ценность ресурсов

Ценность ресурса – это увеличение значения целевой функции (прибыли) при увеличении запаса ресурса на единицу (или, соответственно, снижение целевой функции при уменьшении запаса ресурса на единицу).

Примечание. Вместо названия “ценность ресурса” используются также названия “теневая цена”, “скрытая цена”.

Ценности ресурсов определяются по симплекс-таблице, соответствующей оптимальному решению. Ценности ресурсов представляют собой коэффициенты E-строки при остаточных переменных, соответствующих остаткам ресурсов.

Для примера 2.1 ценность алюминия равна 1,33 ден.ед./кг, ценность пластмассы - 14,67 ден.ед./кг. Это означает, например, что увеличение запаса алюминия на единицу (т.е. на 1 кг) приводит к увеличению прибыли предприятия в среднем на 1,33 ден.ед. Например, если запас алюминия увеличится на 100 кг (т.е. составит 300 кг), то прибыль составит примерно 7600+1,33·100= = 7733 ден.ед. Снижение запаса алюминия приведет к соответствующему снижению прибыли.

Примечание. Расчеты ожидаемой прибыли при изменении запаса ресурса, выполняемые с использованием ценности ресурса, могут оказаться приближенными, так как в большинстве случаев (в том числе и в рассматриваемом примере) количество выпускаемых изделий может представлять собой только целые числа. Поэтому, например, увеличение запаса алюминия или пластмассы на небольшую величину (например, на 1 кг) может и не привести к увеличению прибыли, так как этого недостаточно для увеличения выпуска изделий хотя бы на единицу.

Ценность недефицитного ресурса всегда равна нулю. В данном примере ценность стали равна нулю, так как увеличение ее запаса не приводит к увеличению прибыли, а снижение (не более чем на 90 кг) – не приводит к снижению прибыли.

Ценность ресурса показывает максимальную (предельную) цену, по которой выгодно закупать ресурсы. Например, в рассматриваемой задаче предприятию выгодно закупать алюминий по цене не более 1,33 ден.ед./кг, пластмассу – по цене не более 14,67 ден.ед./кг. Закупка ресурса по цене, превышающей

25