100 т серной кислоты. При этом образуется 440 т опасных отходов. Можно также найти прибыль от производства кислот: 25·640 + 40·100 = 20 000 ден.ед.

X2

25X1+40X2=20000

X2=100

X1

X1=200

Рис.1.2. Решение примера 1.2 графическим методом

1.4.Приведение задач линейного программирования к стандартной форме

Для большинства методов решения задач линейного программирования требуется предварительно привести задачу к стандартной форме. Задача (или ее математическая модель) представлена в стандартной форме, если она соответствует следующим условиям:

•целевая функция подлежит максимизации;

•все ограничения имеют вид равенств;

•на все переменные накладываются ограничения неотрицательности. Если целевая функция задачи подлежит минимизации, то для перехода к

целевой функции, подлежащей максимизации, необходимо умножить исходную целевую функцию на –1. Доказано, что максимальное значение любой функции E всегда равно минимальному значению функции –E, взятому с обратным знаком.

Для преобразования ограничения “больше или равно” в равенство (т.е. в ограничение “равно”) необходимо вычесть из левой части ограничения дополнительную переменную. Для преобразования ограничения “меньше или равно” в равенство необходимо прибавить к левой части ограничения дополнительную переменную. На все переменные, используемые для приведения задачи к стандартной форме, накладываются ограничения неотрицательности. Переменные, вычитаемые из ограничений “больше или равно” для их приведения к стандартной форме, называются избыточными, а переменные, прибавляемые к ограничениям “меньше или равно” – остаточными.

Если на какую-либо переменную не накладывается ограничение неотрицательности, то она заменяется на разность двух переменных, каждая из которых должна быть неотрицательной. Таким образом, если некоторая переменная

10

Xj по своему физическому смыслу может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то во всех ограничениях и в целевой функции ее сле-

дует заменить на разность двух переменных: X 'j − X 'j' . На эти переменные на-

кладываются ограничения неотрицательности: X 'j ≥ 0, X 'j' ≥ 0 .

Приведем к стандартной форме задачу из примера 1.1. Из ограничений “больше или равно” необходимо вычесть избыточные переменные, к ограничению “меньше или равно” – прибавить остаточную переменную. Целевая функция задачи подлежит максимизации, и на все переменные накладывается ограничение неотрицательности; поэтому никаких других преобразований не требуется. Математическая модель задачи в стандартной форме будет иметь следующий вид:

X1 - X3 = 200

X2 – X4 = 100

0,5X1 + 1,2X2 + X5 = 600 Xj ≥ 0, j=1,...,5.

E = 25X1+40X2 → max.

Здесь переменные X3 и X4 – избыточные, X5 – остаточная.

Примечание. Все переменные, которые вводятся в математическую модель для ее приведения к стандартной форме, имеют физический смысл. Так, в рассмотренном примере

переменные X3 и X4 обозначают количество кислот, которое будет выпущено сверх государ-

ственного заказа. Переменная X5 обозначает, насколько количество опасных отходов, образующихся при производстве кислот, будет меньше максимально допустимой величи-

ны (600 т).

Приведем к стандартной форме задачу из примера 1.2. В ней имеются три ограничения “больше или равно”. В каждое из них необходимо ввести избыточную переменную. Целевая функция задачи подлежит минимизации; ее необходимо умножить на –1, чтобы перейти к целевой функции, подлежащей максимизации. Математическая модель задачи в стандартной форме будет иметь следующий вид:

X1 – X3 = 200

X2 – X4 = 100 25X1+40X2 –X5 = 20000 Xj ≥ 0, j=1,...,5.

-E = -0,5·X1 – 1,2·X2 → max.

11