3.2. Метод Гаусса

Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1. умножение строки на число, отличное от нуля ;

2. прибавление к одной строке другой строки ;

3. перестановку строк ;

4. прибавление к любой строке линейной комбинации других строк (комбинация элементарных преобразований вида 1. и 2. называется линейной комбинацией строк) ;

5. те же преобразования столбцов.

Элементарные преобразования строк матрицы системы преобразуют систему линейных уравнений в эквивалентную систему.

Р ассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

_{Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на d32 , умножим на -d22 и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:}

_{Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.}

_{Пример № 1}

_{Решить систему уравнений методом Гаусса}

_{Решение:}

1. _{Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение умножим}

_на

_{а затем сложим с 1-ым уравнением.}

_{А налогично третье уравнение умножим на}

_{а затем сложим с первым.}

_{В результате исходная система примет вид:}

2. _{Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение умножим на}

_{и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:}

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.

И з последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3:

Из второго уравнения получаем:

Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса:

О твет:

4. Аналитическая геометрия на плоскости

4.1. Прямая на плоскости. Различные уравнения

В прямоугольной системе координат Оху уравнение первой степени относительно переменных х и у

Ах+Ву+С=0 (1)

определяет некоторую прямую (коэффициенты А и В не равны нулю одновременно). Здесь х и у — координаты любой точки, лежащей на этой прямой. Уравнение (1) называется общим уравнением прямой.

Уравнение всякой прямой, не параллельной оси Оу, может быть представлено в виде

у=kx+b, (2)

где k=tgα — угловой коэффициент прямой, α — угол наклона прямой к оси Ох (рис.3), b — отрезок, отсекаемый прямой от оси Оу (с учётом знака).

Error: Reference source not found

Рис. 3

Уравнение (2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀(х₀, у₀) в заданном направлении (известен угловой коэффициент) имеет вид

у–у₀=k(х–х₀).

Если известны две точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂), то прямая, проходящая через эти точки, определяется уравнением

.

Расстояние d от точки М₀(х₀, у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 находится по формуле