1.3. Действия над матрицами

Основные действия алгебры: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлече­ние корня могут быть обобщены на область матриц.

Два основных действия, из которых могут быть вы­ведены остальные, – сложение и умножение.

1.3.1. Сложение матриц

Пусть имеем две матрицы одного и того же типа

, .

Их суммой называется матрица C того же типа, элементы которой равны суммам соответствующих элементов и матриц A и B, т.е.

Таким образом,

.

Пример 1. Даны матрицы

и , их сумма

.

Пример 2. Даны матрицы

и , их сумма

.

1.3.2. Умножение матриц

Пусть имеем две матрицы A и B, причем число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B:

и .

Произведением матрицы A на матрицу B, называется матрица

,

где , т.е. элемент -ой строки и -го столбца матрицы C равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы A на соответствующие элементы -го столбца матрицы B.

Произведение двух прямоугольных матриц есть прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов которой равно числу столбцов второй матрицы.

Произведение двух квадратных матриц одного и того же порядка есть квадратная матрица того же порядка.

Пример 1.

; ;

.

2. Определители

2.1. Основные определения

Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом или Δ и определяемое равенством:

. (1)

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом или Δ и определяемое равенством:

. (2)

Определители второго порядка, входящие в правую часть равенства (2), получаются из данного определителя третьего порядка вычёркиванием одной строки и одного столбца, на пересечении которых стоят элементы a₁, b₁, c₁. Формула (2) называется формулой разложения определителя по элементам первой строки.

Правило вычисления определителя 3-го порядка равносильно правилу треугольников (правилу Саррюса):

=a₁₁a₂₂a₃₃+ a₁₂a₂₃a₃₁+ a₂₁a₃₂a₁₃-(a₁₃a₂₂a₃₁+ a₁₂a₂₁a₃₃+ a₂₃a₃₂a₁₁).

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком «+», а какие со знаком «–», полезно использовать следующее правило треугольников (или правило Саррюса):

Это правило позволяет легко записать формулу вычисления определителя 3-го порядка и найти его.

Пример 1. Вычислить определитель Δ= .

Решение. По формулам (2) и (1) получим:

.

3. Системы линейных алгебраических уравнений

3.1. Решение невырожденных систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

Определителем системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными x, y и z

называется определитель .

Определители Δ_x= , Δ_y= , Δ_z=

называются дополнительными определителями.

Если определитель системы Δ отличен от нуля, то система называется невырожденной и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение. Найдём определитель системы: Δ= =18.

Так как Δ≠ 0, то решение данной системы можно найти по формулам Крамера. Для этого вычислим дополнительные определители:

Δ_x= =18, Δ_y==0, Δ_z= =-36.

Теперь по формулам (4) получим: