38.Точки розриву, класифікація точок розриву.

Ф-ція y=f(x) наз.розривною в точці x₀, якщо в цій ф-ції порушена умова неперервності ф-цій.

Класифікація точок розриву:

1)точки розриву 1-го роду (точки скінченого розриву)

2)точки розриву 2-го роду (точки нескінченого розриву)

3)точки усувного розриву.

Щоб виявити точки розриву,необхідно:

1)Знайти односторонні границі

2)Зн.значення ф-ції в точці x₀.

30Порівняти результат в одержаних пунктах 1і 2

При цьому можливі наступні випадки:

a) f(x₀ -0)= f(x₀)=f(x₀+0) – точка х₀ не э точкою розриву

б) f(x₀ -0), f(x₀) f(x₀+0) і існують, але не рівне між собою можливо рівні справа або зліва.

f(x₀-0) = f(x₀) або (f(x₀) = f(x₀-0)) → в точці х₀ – точка розриву 1 роду.

W = |f(x₀ -0)-f(x₀)| - стрибок ф-ї.

в) якщо границя ф-ї існує, точка х₀ – точка розриву

= 1; y = в точці х = 0

г) в усіх інших випадках точка розриву 2 роду.

f(x₀ -0) = ±∞ або f(x₀+0) = ±∞

f(x₀ -0) = f(x₀+0) = ±∞ .

39. Похідна ф-ції.Необхідна умова існування ф-ції.Геометричний та економічний зміст похідної.

Похідною Ф-ції y=f(x) в точці х₀ наз.границя відношення приросту ф-ції до приросту аргументу коли останній прямує до нуля тобто

y’=

Приріст ф-ції:

; y’_x , f ‘_x

Якщо ф-ця має похідні в кожній точці [a,b], то вона деференційона на цьому інтервалі.

Умова існування:

Якщо ф-ція y=f(x) диференційована в точці х₀, то вона неперервна в цій точці.

Доведення:

f(x)-f(x₀)=

Перейдемо до границі, знайдемо границю при х 0

(f(x)-f(x₀))= =0

f(x)=f(x₀) отже ф-ція неперервна

Обернене твердження невірне, тобто із неперервності ф-ції випливає її диференційованість.

Геометричний зміст похідної:

Нехай задано неперервну ф-цію y=f(x) хє(а,б),L-графік ф-ції.

М(х₁,y₀) Lфіксована точка виберемо точку М(x,y) L. Через точку М₀ і М проведемо січну до графіка ф-ції М₀М під кутом до осі ох.Через точку М₀ проведемо дотичну під кутом до осі ох. Через точку М₀ проведемо пряму MN//oy. Через точку М₀ проведемо прямуM₀N//ох. В M₀МN, M₀МN= .MN=y-y₀ ,M₀N=х-х₀ ,тоді tg = . В основній рівності перейдемо дограниці при x х₀ одержемо tg = .

tg -?якщо x х_0,tg . Таким чином похідна ф-ції в точці x₀=кутовому коефіцієнту дотично проведеної до графіка ф-ції в точці з абсцисою х₀.

Таблиця похідних:

1. (с)^/= 0, с = сonst

2.(xⁿ)^/= nx^n-1

3.(1/x)^/= -1/x²

4.(√x)^/= 1/2√x

5.(e^x)^/=e^x

6.(a^x) ^/= a^xln_a

7.(lnx)^/= 1/x

8.(log_ax)^/= 1/ xln_a

9.(sinx)^/= cos x

10.(cos x)^/= - sinx

11.(tg x )^/= 1/cos²x

12.(ctg x)^/=- 1/sin²x

13.(arcsin x)^/ = 1/√1-x²

14.(arccos x)^/= ^- 1/√1-x²

15.(arctg x)^/= 1/1 +x²

16.(arcctg x)^/=- 1/1+x²

41.Похідна складної функції

Якщо функція u=γ(x) має похідну u_x^/ в деякій точці х, а функція у=f(γ(x)) має похідну f_u^/ в деякій точці u, то функція у= f(γ(x)) має похідну у_х^/ в деякій точці х, яка знаходиться за формулою у_х^/= f_u^/* u_x^/. Тобто , похідна складної функції по аргументу х дор добутку похідної даної функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргумента.

Таблиця похідних складної функції:

1. (с)^/= 0, с = сonst

2. (uⁿ)^/= nu^n-1*u_x^/

3. (1/u)^/= -1/u² * u_x^/

4. (√u)^/= 1/2√u * u_x^/

5. (e^u)^/= e^{u *} u_x^/

6. (a^u)^/=a^uln_a * u_x^/

Якщо для функції у = f(x) існує обернена х = γ(у), яка має похідну в деякій точці у, то функція у = f(x) має похідну в деякій точці х, яка визначається за формулою f^/(x)= 1/ γ^/(у), γ^/(у)≠0

Доведення:Нехай для функції у = f(x) існує обернена х = γ(у) . Тоді у = f(γ(у)). Знайдемо похідну лівої і правої частини.(х)^/=( γ(у))^/. 1=γ_у^/* y_x^/→ y_x^/=1/ γ(у)^/.