Лабораторна робота №1

«Збір статистичної інформації. Побудова та дослідження моделі парної лінійної регресії з використанням засобів ms excel »

Мета роботи: набуття навичок побудови інформаційного масиву дослідження та розробки моделі парної лінійної регресії, оцінки її параметрів методом найменших квадратів (1 МНК), аналізу моделі.

Початкові дані:

Досліджується залежність результативної ознаки від рівня факторної (самостійно зібрана інформація (на оцінку 5 балів) або див. таблицю свого варіанту, відкориговану на число k (на оцінку 3 бали)).

Необхідно:

1. Визначити факторну і результативну ознаки, навести статистичні дані.

2. Побудувати лінійне рівняння парної регресії від .

3. Розрахувати лінійний коефіцієнт парної кореляції і середню помилку апроксимації. Зробити висновок про зв'язок між і (пряма або зворотна, тісна чи ні).

4. Оцінити статистичну значущість параметрів регресії і кореляції з допомогою -критерію Фішера і -критерію Стьюдента для рівня надійності p=0,95.

5. Виконати прогноз рівня результативної ознаки при прогнозному значенні факторної , що дорівнює 107% від середнього рівня.

6. Оцінити точність прогнозу, розрахувавши помилку прогнозу і його довірчий інтервал.

7. Побудувати поле кореляції і графік лінії регресії.

8. Перевірити результати розрахунків за допомогою надбудови MS Excel Аналіз даних.

Порядок виконання роботи:

1. Провести збір статистичної інформації в розрізі дослідження питань, які розкривають проблемні аспекти дослідження в розрізі спеціальності, на якій навчається студент – на оцінку 5 балів. За номером Вашого варіанту оберіть умову задачі, до кожного значення діапазону вхідних даних додайте число k, яке призначається кожному студенту індивідуально – на оцінку 3 бали.

2. Побудуйте модель парної лінійної регресії, використовуючи метод найменших квадратів (1 МНК).

3. Дослідіть модель за допомогою класичних економетричних формул та перевірте результати розрахунків через надбудову MS Excel «Аналіз даних».

4. Виконання окремих пунктів завдання супроводжуйте коментарями (формули, результати обчислень, висновки).

Для розв’язання задачі використати: інструктивні матеріали, надбудову «Аналіз даних» в MS Excel.

Вимоги до оформлення звіту:

Звіт про проведення даної лабораторної роботи оформлюється наряду з іншими звітами цього курсу у письмовому вигляді і містить:

• назва, тема, завдання, мета лабораторної роботи;

• вхідні дані варіанту;

• хід розв’язання поставлених завдань з використанням формул, що супроводжуються коментарями (див. приклад);

• електронні таблиці з результатами;

• електронні таблиці з електронними формулами;

• результати інструменту Регресія надбудови «Аналіз даних» в MS Excel.

Контрольні питання

1. Яка модель відноситься до категорії економетричних? Що таке загальна модель? лінійна модель?

2. Які особливості має економетрична модель?

3. Як записується економетрична модель у загальному вигляді? Які змінні у моделі є ендогенними, а які екзогенними?

4. Теоретичне та емпіричне рівняння лінійної регресії. Сутність параметрів рівняння регресії.

5. Дайте тлумачення випадкової складової економетричної моделі.

6. З яких причин у модель фактичних даних вводиться випадкова складова u?

7. Які етапи побудови економетричної моделі?

8. Які методи застосовуються для оцінювання параметрів класичної регресійної моделі?

9. Що називається специфікацією економетричної моделі?

10. Сутність методу найменших квадратів (1 МНК). Система нормальних рівнянь для знаходження оцінок парної лінійної регресії. Навести формули.

11. Як можна інтерпретувати параметри простої економетричної моделі?

12. За яких умов неможливе використання 1 МНК?

13. Запишіть оператор оцінювання 1МНК.

14. Що таке гомоскедастичність? При порушенні якої умови застосування 1 МНК має місце гомоскедастичність?

15. Сутність кореляційного та регресійного аналізу.

16. Побудова точкового та інтервального прогнозу залежної змінної в моделі парної лінійної регресії. Навести відповідні формули.

17. Коефіцієнт детермінації: формули для обчислення та сутність.

18. Коефіцієнт кореляції: формули для обчислення та сутність.

19. Критерій Ст’юдента: сутність та формула розрахунку.

20. В яких межах має знаходитися похибка апроксимації, щоб можна було зробити висновок про «гарну» якість моделі?

21. Алгоритм побудови довірчих інтервалів для параметрів a₀ та a₁ та функції регресії. Навести відповідні формули.

Варіанти індивідуальних завдань

Варіант 1

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	81	124
2	77	131
3	85	146
4	79	139
5	93	143
6	100	159
7	72	135
8	90	152
9	71	127
10	89	154
11	82	127
12	111	162

Варіант 2

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	74	122
2	81	134
3	90	136
4	79	125
5	89	120
6	87	127
7	77	125
8	93	148
9	70	122
10	93	157
11	87	144
12	121	165

Варіант 3

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	77	123
2	85	152
3	79	140
4	93	142
5	89	157
6	81	181
7	79	133
8	97	163
9	73	134
10	95	155
11	84	132
12	108	165

Варіант 4

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	83	137
2	88	142
3	75	128
4	89	140
5	85	133
6	79	153
7	81	142
8	97	154
9	79	132
10	90	150
11	84	132
12	112	166

Варіант 5

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	79	134
2	91	154
3	77	128
4	87	138
5	84	133
6	76	144
7	84	160
8	94	149
9	79	125
10	98	163
11	81	120
12	115	162

Варіант 6

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	92	147
2	78	133
3	79	128
4	88	152
5	87	138
6	75	122
7	81	145
8	96	141
9	80	127
10	102	151
11	83	129
12	94	147

Варіант 7

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	75	133
2	78	125
3	81	129
4	93	153
5	86	140
6	77	135
7	83	141
8	94	152
9	88	133
10	99	156
11	80	124
12	112	156

Варіант 8

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	69	124
2	83	133
3	92	146
4	97	153
5	88	138
6	93	159
7	74	145
8	79	152
9	105	168
10	99	154
11	85	127
12	94	155

Варіант 9

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	78	133
2	94	139
3	85	141
4	73	127
5	91	154
6	88	142
7	73	122
8	82	135
9	99	142
10	113	168
11	69	124
12	83	130

Варіант 10

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	97	161
2	73	131
3	79	135
4	99	147
5	86	139
6	91	151
7	85	135
8	77	132
9	89	161
10	95	159
11	72	120
12	115	160

Варіант 11

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	83	124
2	79	135
3	85	146
4	81	137
5	93	143
6	103	159
7	72	139
8	92	152
9	71	127
10	90	156
11	82	127
12	115	162

Варіант 12

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	74	121
2	82	134
3	90	135
4	82	125
5	89	119
6	89	127
7	77	124
8	95	148
9	70	121
10	95	157
11	87	143
12	125	165

Варіант 13

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	78	124
2	85	153
3	80	140
4	93	142
5	90	158
6	81	182
7	80	133
8	97	163
9	74	135
10	90	156
11	84	132
12	108	165

Варіант 14

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	82	137
2	87	142
3	75	129
4	89	141
5	84	133
6	78	153
7	81	143
8	97	155
9	78	132
10	89	150
11	84	133
12	112	167

Варіант 15

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	81	132
2	93	154
3	77	126
4	87	138
5	86	131
6	78	144
7	84	158
8	95	149
9	81	123
10	98	163
11	84	118
12	115	162

Приклад. По територіях регіону наводяться дані за 2011 р.

Номер регіону	Середньодушовий прожитковий мінімум за день одного працездатного, грн.,	Середньодобова заробітна плата, грн.,
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Розв’язок.

Для розрахунку параметрів рівняння лінійної регресії будуємо розрахункову таблицю 2.

Таблиця 2

1	78	133	10374	6084	17689	149	-16	12,0
2	82	148	12136	6724	21904	152	-4	2,7
3	87	134	11658	7569	17956	157	-23	17,2
4	79	154	12166	6241	23716	150	4	2,6
5	89	162	14418	7921	26244	159	3	1,9
6	106	195	20670	11236	38025	174	21	10,8
7	67	139	9313	4489	19321	139	0	0,0
8	88	158	13904	7744	24964	158	0	0,0
9	73	152	11096	5329	23104	144	8	5,3
10	87	162	14094	7569	26244	157	5	3,1
11	76	159	12084	5776	25281	147	12	7,5
12	115	173	19895	13225	29929	183	-10	5,8
Итого	1027	1869	161808	89907	294377	1869	0	68,9
Среднее значение	85,6	155,8	13484,0	7492,3	24531,4	–	–	5,7
	12,84	16,05	–	–	–	–	–	–
	164,94	257,76	–	–	–	–	–	–

Примітка: - дисперсія факторної ознаки; - середнє значення факторної ознаки; - кількість спостережень; - дисперсія результативної ознаки; - середнє квадратичне відхилення факторної і результативної ознаки, відповідно.

;

.

Одержане рівняння регресії: .

Отже, зі збільшенням середньодушового прожиткового мінімуму на 1 грн., середньодобова заробітна плата зростає в середньому на 0,89 грн.

Тісноту лінійного зв'язку оцінимо за допомогою коефіцієнту кореляції:

; .

Це означає, що 51% варіації заробітної плати (() пояснюється варіацією фактора – середньодушового прожиткового мінімуму.

Якість моделі визначає середня помилка апроксимації, де :

.

Якість побудованої моделі оцінюється як добра, оскільки не перевищує 8-10%.

Оцінку значущості рівняння регресії в цілому проведемо за допомогою -критерію Фішера. Фактичне значення -критерію:

.

Табличне значення критерію при п'ятипроцентному рівні значущості і ступенях свободи і складає . Оскільки , те рівняння регресії вважається статистично значущим.

Оцінку статистичної значущості параметрів регресії проведемо за допомогою -статистики Стьюдента і шляхом розрахунку довірчого інтервалу кожного з показників.

Табличне значення -критерію для числа ступенів свободи і складе .

Визначимо випадкові помилки , , , де (m – кількість факторних ознак):

;

;

.

Тоді

;

;

.

Фактичні значення -статистики перевершують табличне значення:

;

;

,

тому параметри , і не випадково відрізняються від нуля, а статистично значущі.

Розрахуємо довірчі інтервали для параметрів регресії і . Для цього визначимо граничну помилку для кожного показника:

;

.

Довірчі інтервали

Аналіз верхньої і нижньої меж довірчих інтервалів надає можливість зробити висновок про те, що з імовірністю параметри і , знаходячись у вказаних межах, не приймають нульових значень, тобто не є статистично незначущими і істотно відмінні від нуля.

Одержані оцінки рівняння регресії дозволяють застосувати його для прогнозу. Якщо прогнозне значення прожиткового мінімуму складе: грн., тоді прогнозне значення заробітної плати складе: грн.

Помилка прогнозу складе:

Гранична помилка прогнозу, яка в випадків не буде перевищена, складе:

Довірчий інтервал прогнозу:

грн.;

грн.;

Виконаний прогноз середньодобової заробітної плати є надійним (() і знаходиться в межах від 131,66 грн. до 190,62 грн.

Побудуємо на одному графіку початкові дані і теоретичну пряму (рис.1):

Рис.1