34. Нескінчено малі і нескінчено великі функції і їх властивості.

Послідовність х_п називається нескінченно малою, якщо limx_n= 0.

Послідовність х_п називається нескінченновеликою, якщо limx_n=.

Сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінчена мала послідовність.

Добуток нескінченно малої послідовності і обмеженої є нескінченно мала послідовність.

Якщо х_п нескінченно мала послідовність і x_n0, то послідовністьy_n= є нескінченно великою. Якщо y_n нескінченно велика послідовність, то послідовність x_n= є нескінченно малою послідовністю.

Властивості н.м.ф.:

Сума і добуток скінченності і кількості н.м.ф.при хх₀ або х або х -, а також добуток і частка н.м.ф. на обмежено малу функцію є неск. Малими ф-ціями :

1)0+0+0+0+...+0=0

2)0*0*0*0*....*0=0

3)0*с=0

4)0/с=0

Властивості н.в.ф.

1)Сума н.в.ф. одного знака є н.в.ф. тогож знака; +=;

2)сума н.в.ф.й обмеженої функції є н.в.ф.; +с=;

3)добуток двох н.в.ф.є н.в.ф.;  *  = 

4)добуток н.в.ф. на фунцію, що має відміну від 0 гтаницю є н.в.ф.; *с=;

5)додатній степінь н.в.ф.є н.ав.ф.; ^= ;

6) частка від ділення обмеженої функції на н.в.ф.є н.м.ф.; .з цього випливає зв`язок між н.м.ф. і н.в.ф.

36. Визначні границі.

Перша і друга визначна границя.

I визначна границя.

lim

^{x 0}

Наслідки:

1)lim ;

^{x 0}

2)lim ;

^{x 0}

3)lim ;

^{x 0}

2-га визначна границя.

lim

^x

Наслідки:

1) lim

^{x 0}

2) lim

^x

3) lim

^{x 0}

4) lim

^x

5) lim

^{x 0}

Число е-ірраціональне: е=2,7182818…..Логарифм за основою е наз.натуральним логарифмом і позначається ln.

37.Непервність ф-ції в точці.Властивості неперервних ф-цій.

1) Ф-ція y=f(x) наз. непевною в точці х₀, якщо вона існує в околі цієї точки, а значить і в самій точці існує границя limf(x)=f(x₀) і = заченню ф-ції в цій точці.

^{x 0}

Ф-ція y=f(x) наз. непевною, якщо в нескінченно малому приросту аргумента відповідає приросту ф-ції .

lim .

^{x 0}

Ф-ція y=f(x) наз. непевною, якщодля любого досить достатнього малого числа існує таке число додатнє ідосить мале,що для всі х , що задовольняють умові виконується нерівність :

|x-x₀|<

Властивості:

1)y=c: c=const-непервна в любій точці числової осі.

2)Алгебраїчна сумма скінченого числа неперервна ф-ція є ф-ція неперервна

lim f₁(x)+f₂(x)+ f₃(x)= f₁(x₀)+f₂(x₀)+ f₃(x₀)

^{x x}₀

3)Добуток скінченого числа в неперервній ф-ції є ф-ція неперервна

lim f₁(x)*f₂(x)= f₁(x₀)*f₂(x₀)

^{x x}₀

4)Частка в двох неперервних ф-цій є ф-ція неперервна

5)y=f(x),x_0,c=const,тоy=c(x)-неперервна в точці x_0.

6)Якщо Ф-ція y=f(x) непевна функція u= , x₀, y=f(u) u₀ то y=f( ) в точці x₀.

Непервність ф-ції на відрізку. Властивості.

Ф-ція y=f(x) наз. непевною на відрізку[a,b] якщо вона неперервна в кожній точці цього відрізку.

Властивості:

1)[a,b], y=f(x) m-найменше,n-найбільше значення.

2)приймає проміжні значення

3)На даному відрізку ф-ція y=f(x) є обмеженою.

4)Якщо на кінцях відрізка [a,b] ф-ція різних знаків,то на [a,b] існує така точка с, що належить [a,b],що f(с)=0, с-корінь ф-ції

.