30. Поняття про криві другого порядку. Парабола.

Параболою називається множина всіх дійсних точок площини, відстань яких від фіксованої точки площини, що наз. фокусом, = відстані від фіксованої прямої, яку називають директрисою. Рівняння y²=2px називається канонічним рівнянням параболи. Вісь симетрії параболи називається її віссю, точка перетину осі з параболою – вершиною параболи, число, яке = відстані фокуса від директриси – параметром параболи. Параметр характеризує «ширину» області, яку обмежує парабола.

р> 0 вітки параболи вгору.

р< 0 вітки направлені вниз.

31. Постійні та змінні величини. Властивості функцій.

Величина – це об`ект довільної природи, якому становиться у відповідність певне числове значення.

Величина буває постійною і змінною.

Змінною наз. величина, яка приймає різні числові значення(розмір зарплати, розмір стипендії, товарообіг).

Величина, числове значення, якої не змінюється наз. постійною.

Але при розгляді конкретних явищ, одна і таж величина в одному і явищі постійна, а в іншому- змінна.

Але є величини , які залишаються незмінними в любому явищі, такі величини наз.абсолютно сталими (шв.світла).

Змінні величини наз.незалежними, якщо вони змінюються в процесі, і приймають різні числові значення.

Змінна величина наз.залежною, яка приймає різні числові значення, в залежності від того, які числові значення прийняла інша величина .

Власт.функції:

1) Парні,непарні,функції.

y=f(x) парна, якщо f(-x)=f(x)

y=f(x)-непарна,якщоf(-x)=-f(x) графік парної ф-ції симетричне відносно ox, г-фік непарної симетричне поч..координат.Ф-ція,яка не має властивостей непарної, не непарної відноситься до ф-ції загального вигляду. функція загального вигляду.

2) зростання і спадання ф-ції

y=f(x) наз.зростаючою на інтервалі, якщо для любих Х₁,Х₂ з цього інтервалу таких щоб

Х₁<Х₂=>f(x₁)<f(x₂)-зростаюча

f(x₁) f(x₂)-неспадна

y=f(x) наз.спадною на інтервалі, якщо для любих Х₁,Х₂ для цього інтервалу х₁,х₂- виконується нерівність

Х₁<Х₂=> - спадна

- незростаюча

Функція на деякому інтервалі наз.множинними ф-ціями.

3) Ф-ція Y=f(x) наз.періодичною,якщо існує таке число Т>0, що існує

f(x)+(Т)= f(x).

4) Обмежені, необмежені ф-ції: y=f(x), х Е наз.обмеженою, якщо існує таке число М>0,що | f(x)| M для всіх чисел де х₀ Е, що | f(x₀)|> М. Монотонні ф-ції.

1)y=f(x) наз.зростаючою,спадною, якщо для довільних х₁ Е, х₂ Е, з умови х₁< х₂ випливає f(x₁) f(x₂)

(f(x₁) f(x₂)). Зростаючі,спадні,не зростаючі,неспадні,ф-ції наз.монотонними.

32.33. границя функції при ха, х. Геометричний зміст. Основні теореми про границі. Особливі випадки розкриття невизначеностей вигляду.

Постійне число А наз. границею функції y = f(x), при хх_0, якщо для любого досить малого додатного числа епсілон існує таке досить мале додатнє число більше 0, що для всіх х, що задовольняють умові 0< |x-x₀|<() |f(x)-A|<.

Геометрично це означає, що всі члени послідовності (х_п) з номерами n>n₀() попадуть в інтервал (а-  ; а-+), який назив.-околом числа а. За межами цього інтервалу можу бути не більше n₀() перших членів послідовності (х_п), тобто з членів х_1,х₂,....х_п усі або окремі з них не попадуть в інтервал(а-  ; а-+).

Число А наз. границею функції y = f(x), при х,якщо для довільного дійсного числа >0 існує таке дійсне число ()>а, що для всіх чисел х>() виконується нерівність |f(x)-A|<.

Геометрично це означає, що графік функції y = f(x) для всіх достатньо великих х як завгодно близько підходить до прямої у=А і знаходиться для чисел х>() у смузі (А-  ; А +).пряма у=А є горизонтальною асимптотою графіка функції y = f(x). Графіка функції y = f(x) може мати і похилі асимптоти y=kx+b,k0.

Основні теореми про границі:

1. якщо границя функції в т. Х₀ існує, то вона єдина.

2. границя суми скінченого числа ф-цій дорівнює сумиі границь цих ф-цій. Теорема справедлива для границі різниці функцій.

(f₁(x)+f₂(х))= f₁(x) f₂(х).

3. Границя добутку скінченого числа ф-ції=добутку границь цих ф-цій, при умові ,що вони існують

(f₁(x)*f₂(х))= f₁(x)* f₂(х).

4.Границя константи=константі limc=c, с=const.

5.Сталий множник можна виносити за знак границі. limcf(x)=сlimf(x).

6.Границя частки двох ф-цій=відношенню границь при умові границя знаменника 0

= (f₂(x)≠0.