27.Найпростіші задачі на пряму і площину в просторі (кут між прямою і площиною, умова паралельності і перпендикулярності прямої і площини, точки перетину прямої і площини)

Нехай дано пряму і площину (L) =(m.n.p) кут між прямою і площиною називається кут між паралельним вектором прямої і нормальним вектором площини. (L) =(m.n.p) соs

sin sin кут між прямою і площиною.

(L)//

(L)// умова паралельності

(L) = умова перпендикулярності

Якщо пряма не паралельна площині і не лежить на ній, то точку прямої можна найти так :від канонічного рівняння прямої перейти до параметричного. ?

Знаючи t, можна знайти координати т. перетину прямої і площини, підставивши, значення параметра tв параметричне рівняння прямої.

28. Поняття про криві 2-го порядку. Еліпс.

Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є величина ста­ла 2а і більше ніж відстань між фокусами (2а> 2с).

Нехай задано 2 точки F₁ і F₂ : | F₁ F₂|=2c, проведемо прямокутну сист. коорд. так, щоб точки F₁ F₂ лежали на осы ОХ, а початок координат ділили відрізок F₁F₂ навпіл, тоді т. F₁ (-c ; 0); F (c;0).

x²/ a² + y²/b² =1 канонічне рівняння еліпса

малюнок |A₁O| = |OA₂ | = a велика піввісь еліпса.

|B₁ O | = |OB₂ | = b мала піввісь еліпса.

A₁A₁ = 2a велика вісь.

B₁ B₂ = 2b мала вісь.

F₁ (-c; 0) ,F₂ (0; c) фокуси еліпса.

Ексцентриситетом еліпса наз. величина, що довіює відношенню відстані між фокусами до довжини великої осі .

Ε=2c/2a=c/a>1 c =|OF₁| = |OF₂| фокусна відстань

Чим більше ексцентрис. Тим більше еліпс витягнутий вздовж длинної осі, чим менше тим більше похоже на коло.

29.Поняття про криві 2-го порядку. Гіпербола.

Гіперболою наз. множина точок площини, модуль різниці відстаней від кожної із яких до двох даних точок, що наз. фокусами є величина стала 2а і менша, ніж відстань від фокусами.

,деb²=c²-a²називається канонічним рівнянням.

Дослідимо форму гіперболи: рівняння містить змінні х та у в парних степенях. Це означає, що разом з точкою (х, у ), яка належить гіперболі, їй належать і точки (-х, у), (-х, -у), ( х, -у ),тому гіпербола симетрична відносно осей ОХ, ОУ та відносно точки О (0,0), яка називається центром гіперболи. Розв`яжемо рівняння відносно у: маємо .

При | х |< а значення існує, тому для гіперболи |х| а.

Гіпербола перетинає вісь ОХ у двох точках А₁(а, 0) і А₂( -а ,0). Гіпербола вісь ОУ не перетинає. Точки А₁ і А₂ – називаються вершинами гіперболи. Відрізок А₁А₂=2а називається довжиною дійсної осі гіперболи.

Точки В₁(0, b) і B₂(0? –b) називаються уявними вершинами гіперболи.

Асимптотою гіперболи наз. пряма з властивістю точок, які віддаляються по криві у нескінченність, необмежено наближаючись до цієї прямої.

Прямі є асимптотою гіперболи. Асимптоти гіперболи характеризують її форму. Гіпербола з рівними півосями (a = b ) наз. рівносторонньою, а її канонічне рівняння має вигляд x²-y² =a².

Прямокутником рівносторонньої гіперболи є квадрат із стороною 2а, а її асимптоти –бісектриси координатних кутів.

До фокальних властивостей гіперболи належать поняття ексцентриситету та директрис.

Ексцентриситетом гіперболи наз. відношення відстаней між її фокусами до довжини її дійної осі гіперболи знаходяться на відстані від початку координат.

Відношення довжини фокальних радіусів кожної точки гіперболи до відстаней цієї самої точки від відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету гіперболи, тобто