14. Змішаний добуток векторів та його властивості

Називається число рівне ( a [ b × c]). Спочатку знаходиться векторний добуток b × c = α , потім скалярний добуток a *α

Геометричні властивості змішаного добутку:

1. Якщо змішаний добуток =0, то вектори abc компланарні.

2. Об'єм паралелограма побудованого на цих векторах визначається формулою V= | a b c | , при чому змішаний добуток :

( a [ b × c ])= { -V якщо утв. Ліва трійка векторів

{ V якщо утв. Права трійка векторів

Основна алгебраїчна властивість змішаного добутку полягає втому, що циклічна перестановка векторів не змінює його величини

( a[ b × c ] )= b [ c × a ] = c [ a × b ]

Якщо вектори задані в ортонормованому базисі, то змішаний добуток визначається:

abc= |a_xa_ya_z |

| b_xb_yb_z|

| c_xc_yc_z |

15.Поділ відрізка в даному відношенні

А(х_1,х_1,х₁) В(х_2,у_2,z_2), які є кінцями відрізка АВ. Необхідно знайти координати т.М(х,у,z) яка ділить відрізок АВ у відношенні λ.

|АМ|/|МВ|=λ

а) λ>0, т.М є АВ

б) λ<0, т.М знаходиться на продовженні АВ

в) λ=-1, т.А і В співпадають, цей випадок не розглядається

Знайдемо координати вектора АМ і МВ

АМ (х-х₁; у-у₁; z-z₁)

МВ (х₂-х, у₂-у, z₂-z)

АМ/МВ=λ, тоді АМ= λМВ або

(х-х₁; у-у₁; z-z₁) = λ ( х₂-х₁; у₂-у₁; z₂-z₁₎

(х-х₁; у-у₁; z-z₁)= (λ(х₂-х₎, λ(у₂-у), λ(z₂-z)

х-х₁= λ(х₂-х)

у-у₁= λ(у₂-у)

z-z₁ = λ(z₂-z)

х-х₁= λх₂-λх

х+λх= х₁+λх₂

х(1+λ)= х₁+λх₂

х=х₁₊λх₂/1+λ

х=х₁+λх₂/1+λ, у=у₁+λу₂/1+λ

Зокрема, якщо λ=1, то т.М є серединою відрізка АВ: х=х₁+х₂/2; у=у₁+у₂/2; z=z₁+z₂/2 це є координати точки, що є серединами відрізка.

16.Лінійний векторний простір.Лінійно-залежні і лінійно-незалежні системи векторів. Базис простору. Розкладання вектора за базисом.N-вимірний вектор

Сукупність векторів у просторі, після введення в неї операцій додавання і множення на число називається трьохвимірним векторним простором і позначається . Аналізуя сукупність векторів на площині , назвемо лінійним векторним простором . На прямій – одновимірним лінійним простором . Простір , завжди містить нульовий вектор. Простір , завжди замкнутий відносно операцій додавання і множення вектора на число. Лінійною комбінацією векторів називається вираз виду , де - деякі числа. Тобто під лінійною комбінацією векторів розуміюь новий вектор, який одержуємо в результаті лінійних операцій над векторами. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність

виконується лише за умови

.

Якщо рівність (2.1) можлива хоча б при одному із чисел , то система векторів називається лінійно залежною.

Можна сформулювати еквівалентне означення:

система векторів називається лінійно залежною, якщо хоча б один із векторів системи є лінійною комбінацією решти векторів системи. Наприклад:

.

Якщо якась підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна. Якщо система векторів лінійно незалежна, то і довільна її підсистема теж лінійно незалежна.

Розглянемо лінійно залежну систему векторів Візьмемо таку лінійно незалежну підсистему , до якої не можна додати жодного вектора, щоб не порушити лінійну незалежність. Таку систему називають максимальною лінійно незалежною підсистемою даної системи векторів.

Кількість векторів, які входять в довільну максимально лінійно незалежну підсистему векторів, називають рангом системи векторів.

Розглянемо систему векторів

Ранг системи векторів дорівнює рангу матриці, яка утворена координатами векторів цієї системи, тобто рангу матриці

.

Таким чином, якщо система векторів лінійно-залежна, то один з цих векторів можна представити у вигляді лінійної комбінації решти векторів. Нехай лінійна комбінація векторів=0. Припустимо, що

Числа називаються коефіцієнтами розкладу, найчастіше використовується розклад за базисом. Базисом n-вимірного простору називається сукупність n-лінійно-незалежних векторів цього простору. Базисом на прямій є любий ненульовий вектор, що лежить на цій прямій. Базисом на площині наз. два любих неколініарних вектори. Базисом у просторі називаються три компланарні вектори. Нульовий простір базису не має, так як не містить лінійно-незалежних векторів. Нескінченно - вимірний простір, в якому число базисних векторів невизначено, також не має базису. Мають місце наступні твердження:

1) Любі два неколініарні вектори утворюють базис

2) Трикомпланарні вектори завжди лінійно-залежні. Упорядкована система дійсних чисел

називається -вимірним вектором.

Числа називаються координатами вектора.