10.Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, фундаментальна система рішень

Система лінійних алгебраїчних рівнянь називається однорідною, якщо всі її праві частини дорівнюють нулю, тобто

(1)

Система (1) завжди сумісна (оскільки розширена матриця одержується із матриці коефіцієнтів шляхом додавання нульового стовпця, що на ранг не впливає).

Якщо ранг матриці коефіцієнтів r дорівнює кількості невідомих n, то система (1) має тільки тривіальний розвязок:

. (2)

Якщо ж  , то система має нескінченну множину розвязків. Щоб їх знайти, записуємо еквівалентну систему системі (1). А вже для еквівалентної системи застосовуємо один із вищезгаданих методів розвязування. Знаходимо загальний розвязок. Якщо ж потрібно знайти якийсь частинний розвязок, то довільним невідомим надаємо фіксовані значення.

11.Вектори. Лінійні дії над векторами. Властивості. Довжина вектора. Кут між векторами. Відстань між 2-ма точками. Проекція вектора на вісь. Координати вектора.

Геометричний вектор-це напрямлений відрізок прямої. Довжина вектора – відстань відстань від початку до кінця вектора. Вектор, довжина якого=1 називається одиничним. Вектор, довжина якого=0 називають нульовим вектором. Два вектори називаються рівними, якщо рівні їх довжини, вони паралельні і напрямлені в одну сторону. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній або паралельних прямих. Вектори наз. компланарними, якщо вони в одній площині, або паралельних площинах. Під лінійними операціями над векторами розглядають додавання, віднімання і множення вектора на число. Якщо вектор заданий двома точками, то тоді координати = від координат кінця віднімаємо координати початку. Координатами вектора називають його проекцію на координатну вісь. Проекцію на вісь L називають число, яке = довжині вектора , взяте із знаком «+», або -, в залежності від того, як напр. вектор , в ту, чи протилежну сторону осі L.

Властивості:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

12.Скалярний добуток 2-х векторів і його властивості. Довжина вектора. Кут між векторами.

Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Геометричні властивості:

1) Як що скалярний добуток , то кут -гострий

2) Скалярний добуток <0, -тупий

Алгебраїчні властивості:

1)

2)

3)

Довжина вектора – відстань відстань від початку до кінця вектора. Вектор, довжина якого=1 називається одиничним. Вектор, довжина якого=0 називають нульовим вектором.

Скалярним добутком двох векторів простору називається число , яке дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів

.

Властивості скалярного добутку:

.

.

Для будь-якого дійсного числа

.

тільки у випадку, коли є нуль- вектор, тобто . У всіх інших випадках .

Кут між векторами

13. Векторний добуток векторів та його властивості.

Упорядкована трійка некомпланарних векторів a, b, c, зведених в одну спільну точку називається правим базисом, якщо з кінця с найкоротший поворот від aljb видно проти годинникової стрілки. В противному разі трійка векторів називається лівою, або лівимбазисом.

Векторним добутком називається вектор c, який записують у вигляді:

c=a*b і якщо задовольня\ться умова:

1) c перпендикул. a, c перпендикул.b

2)| c | = |a|* | b | *sinγ

3) Якщо вектори записують у вигляді а. в. с, то вони повинні утворювати праву трійку векторів:

S_{паралелог.}= | a| | b| sinγ=c

Геометричні властивості:

А) a×b=0 a || b умова колінеарності векторів

Б) | c | = | a| | b| sinγ= S_{паралелог.}

Алгебраїчні властивості:

1. a × b= -b × a

2. λ a × b = a × λ b