59.Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми. Теорема існування. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Скінченна границя інтегральної суми, при умові, що число відрізків nпрямує до нескінченності, а довжина найбільшого з них прямує до 0 наз. Визначеним інтегралом функції y = f(x) в межах х = а, х = в і позначається

Теорема існування визначеного інтегралу.

Якщо функція y = f(x) визначена на відрізку [a,b] або має на цьому відрізку лише точки скінченого розриву, то визначений інтеграл існує для цієї функції і він єдиний.

Геометричний зміст визначеного інтегралу.

Нехай дано функцію y = f(x),яка визначена на відрізку [a,b], причому f(x)>=0. Потрібно знайти S криволінійної трапеції аАВв, обмеженою лініями х = а, х = в, у = 0, у= f(x)/

Малюнок

1). Розіб’ємо відрізок АВ на nчастин точками Хі, і=0, а = Х0<X1<X2<Xn= в.

2). Позначимо через дельта Х = Хі+1 –Хі .

3). В кожному з відрізків [ Xi-1 +Xi], виберемо довільну точку Ei [ Xi-1, Xi] і обчислемо

4). В кожному частинному проміжку побудуємо прямокутник, висота якого є , а основа (дельта) Хі.

5). Визначимо суму Властивості визначеного інтеграла.

1. Сталий множник можна винести за знак інтеграла.

2.Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченого числа неперервних функцій дорівнює сумі їх інтегралів.

3.Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування = 0.

4.Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування , то знак перед інтегралом зміниться на протилежний.

5. Для любих чисел а ,в ,с справедлива рівність:

6. Якщо функція f(x) і g(x) неперервні на відрізку [ a ,b] , f(x)>=g(x), то

7.Якщо m і M найменше і найбільше значення функції на відрізку [a, b], то знаходиться в межах: m(b-a) <= <= M(b-a).

8. Якщо функція y = f(x) на [a,b] неперервна, то існує така точка С є[a,b], що f( c) = .

60.Визначений інтеграл із змінною, верхньою межею і його похідна на поверхній межі. Формула Ньютона – ЛейбніцаНехай y=f(x) неперервна на відрізку [a,b] , тоді визначений інтеграл існує і дорівнює деякому числу. Якщо в інтегралі нижню межу «а» зафіксувати, а «б» - замінити змінною х, де х є [a,b], то одержимо: (2). Змінною інтегрування ми позначимо буквою t, щоб відрізнити її від змінної верхньої межі. Інтеграл (2) буде залежать від положення т.Х, тобто інтеграл(2) є деяка функція своєї верхньої межі.

Теорема:

Нехай функція f(t) неперервна скрізь на проміжку [a,x], тоді похідна від визначеного інтегралу по змінній верхній межі х дорівнює підінтегральній функції в якій змінна інтегрування замінена цією межею.

Формула Ньютона-Лейбніца:

Якщо функція f(x) є неперервною на [a,b], aF(x) є однією з її первісних на [a,b], то має місце формула:

61. Основні методи обчислення визначеного інтеграла( безпосереднє, частинами).

Безпосереднє інтегрування основане на застосуванні властивостей, таблиці інтегрування і в разі необхідності тотожних перетворень підінтегральної функції.

Інтегрування частинами:

Нехай UiV неперервні на відрізку [a,b], які мають інтегровані похідні на відрізку [a,b].

62. Геометричні застосування визначеного інтеграла. Обчислення 1) площі плоских фігур; 2)обємів тіл; 3)довжини дуги кривої.

1) a)Фігура, обмежена графіком неперервної і невідємної на відрізку [a; b] y=f(x), x=a, x=b, y=0: S= (1)

b) Фігура, обмежена неперервною і недодатною на [a; b] ф-цією y=f(x), прямими x=a, x=b, y=0: S=- (2)

с) Фігура, обмежена віссю ОХ, прямими x=a, x=b, графіком ф-ції y=f(x), яка на проміжку [a; b] змінює свій знак скінченне число раз: S= S₁ + S₂ +...+ S_n, де S_і=1, n – знаходиться за формулою (1)

г)Фігура, обмежена графіком 2 неперервних ф-цій f(x) і g(x) на [a; b], x=a, x=b. Причому, f(x)≥ g(x) на [a; b] S=

Обчислення площі кривої, заданої параметричними рівняннями

S= , t_1, t₂ знаходяться з рівняння:

a=x(t_1,), b=x(t_1,)

Обчислення площі в полярній системі координат

Нехай на площині дано т. О (Назвемо її полюсом) і підпряма ОР(полярна вісь) Положення любої т. М на площині можна визначити 2 числами. Числом ρ – що виражає довжину ОМ (радіус-вектор т. М), числом φ – полярним кутом між напрямками полярної осі ОР і радіусом-вектором ОМ. Числа ρ і φ наз. полярними координатами т. М. Якщо ми радіус-вектор будемо вважати додатним, а 0≤ φ≤2π, то кожній т. буде відповідати 1 пара чисел (ρ, φ) і обернено, крім т., де ρ=0, так як φ відповідає любе зн-ня кута φ. Якщо крива, задана в полярних координатах ρ= ρ(φ), то S сектора Р₁ОМ, обмеженої дугою кривої і 2 полярними радіусами О Р₁ і ОМ і відповідає зн-ням кута φ і кута β віразиться інтегралом: S=

2) a) Нехай потрібно обчислити обєм тіла Т, що знаходиться між 2 перпендикулярними до осі Ох площинами x=a, x=b. Припустимо, що відома площа любого перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі ОХ. Ця площа залежить від положення площі перетину, а отже є ф-цією х. Позначимо її через S(х) і припустимо, що вона неперервна на [a; b]. Розібємо [a; b] на nчастин точками так, щоб а=х₀<х₁< х₂<…< х_i-1< х_i<…< х_n=b. І через т. ділення проведемо площини, перепендикулярні до ОХ. Вони розібють все тіло Т на n шарів. Позначимо через ∆V_iобєм 1 шару, що знаходиться між площинами х = х_і-1 і х = х_і. Тоді обєм цього шару ≈ V_{циліндра}, висота якого ∆ х_і = х_і- х_і-1, а основа співпадає з поперечним перерізом тіла якою-небудь площиною х=ε_і, х_і-1< ε_і< х_і. ∆V_i=S(ε_і)∆ х_і.

V=lim

б)Нехай y=f(x) – неперервна на [a; b]. Треба обчислити обєм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженої лініями x=a, x=b, y=f(x), у=0. Так як любий поперечний переріз тіла є круг радіуса r=y, то площа перерізу S(х)=πу².

Тоді V_ox= V_oy=

3)Нехай в прямокутній системі координат дано криву y=f(x). Введемо поняття довжини дуги кривої, що знаходиться між вертикальними прямими x=a, x=b.

Розібємо [a; b] на n частин і через т. ділення проведемо паралельні прямі осі ОУ до перетину з y=f(x). Зєднаємо сусідні т. хордами, довжини яких позначимо ∆l_i. Одержимо ламану лінію, вписану в дугу.

Означення. Довжиною дуги наз. та границя, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина найбільшої її ланки прямує до 0.

L= lim

Доведемо, якщо y=f(x) і у’= f(x) – неперервні, то ця границя існує, і разом з тим буде датий спосіб обчислення довжини кривої.

∆у_і = f(х_і) – F(х_і-1)

∆х_і = х_і - х_і-1

∆l_i = =

L=

L=

L=

L=

63. Невласні інтеграли І роду. Збіжність . Теореми порівняння.

При визначенні визначеного інтегралу ми припускаєм, що ф-ція f(x) неперервна, а а і b – скінченні числа. Якщо порушена хоч би 1 із цих умов, то інтеграл наз. невласним. Є невласні інтеграли І роду – з нескінченними межами інтегрування від неперервних ф-цій; ІІ роду – з скінченними межами інтегрування від розривних ф-цій.

Означення. Нехай ф-ція f(x) визначена на [a; ∞] і інтегровна на любому відрізку [a; t], t>a, тобто існує при любому t>a. Тоді якщо існує границя lim і дор. скінченному числу, то її наз. невласним інтегралом І роду. Позначається - (1), тобто (2).

Якщо в (2) він існує, то кажуть, що (1) збігається. Якщо (2) – не існує або дор. ∞, то кажуть, що (1) – є розбіжним.

Аналогічно введем поняття невласного інтегралу (3)

Інтеграл є збіжним, якщот він існує і дор. скінченному числу. Ні – незбіжний.

(4)

Інтеграл (4) є збіжним, якщо обидва інтеграли в правій частині (4) збіжні, і є розбіжним, якщо хоч би 1 з них є розбіжним.

Теореми порівняння:

Якщо f(x) ig(x) – неперервні на [a; ∞), f(x)≥0 if(x)≤g(x), то –

1. Якщо - збіжний, то - теж збіжний.

2. Якщо - розбіжний, то - теж розбіжний.

3. Якщо - збіжний, то - збігається абсолютно.

4. Якщо lim = k, 0<k<∞, то i одночасно є збіжними або розбіжними.

77. Невласні інтеграли ІІ роду. Збіжність . Теореми порівняння.

Якщо ф-ція f(x) неперервна на ]a; b], має нескінченний розрив в т. х=а, тобто limf(x)=±∞, то тоді вважають, що інтеграл , (ε>0) (5)

(5) наз. збіжним, якщо існує скінченна границя в правій частині рівності(5) і наз. розбіжним, якщо дана границя не існує або дор. ∞.

, (ε>0) (6)

Якщо ф-ція f(x) неперервна на [a; b], крім т. с (має нескінченний розрив в т.с) (a≤x<cic<x≤b), тоді –

( 7)

Інтеграл (7) є збіжним, якщо кожний з інтегралів правої частини рівності (7) є збіжним, і розбіжним, якщо хоч би 1 з них інтегралів є розбіжним.

Теореми порівняння.

Якщо ф-ці] f(x) ig(x) неперервні на ]a; b], f(x)≥0, f(x)≤g(x)

1. - збіжний, то і - збіжний.

2. - розбіжний, то і - розбіжний.

3. - збіжний, то і - збіжний.

4. lim 0<K<∞, i - одночасно збіжні чи розбіжні.