54.Інтегрування ф-цій, що містять квадратний тричлена

а)ax²+bx+c=a(x²+b/a x+c/a)=a(x²+2*b/2a*x+b²/4a²- b²/4a²+c/a)=a(x²+b/2a)²+(c/a-b²/4a²)=a[(x+d/2a)²+-k²]

b) ∫Mx+n/a²+bx+c dx=∫(M/2a(2ax+b)+N-Mb/2a)/ax²+bx+c dx=M/2a∫2ax+b/ax²+bx+c dx+(N-Mb/2a) ∫dx/ ax²+bx+c=M/2a lnI ax²+bx+c I+( N- Mb/2a).

c)∫dx/

За допомогою тотожних перетворень інтеграл в залежності від знака а зводиться до табличних інтегралів:

1

2)

d) ) ∫Mx+n/ dx=∫(M/2a(2ax+b)+N-Mb/2a)/ dx=M/∫2ax+b/2 dx+( N- Mb/2a) ∫ dx/ =M/a +( N* Mb/2a)

55.Раціональні дроби(означення).Прості раціональні дроби та їх інтегрування.

Раціональним дробом наз. ф-ція R(x) представлена у вигляді Pm(x)/Qn(x), деPm(x) і Qn(x) - многочлени з дійсними коефіцієнтами.

Раціональний дріб наз.правильним, якщо m<n,тобто степінь чисельника менша степені знаменника неправильний, якщоm=>n.

Найпростішими дробами є дроби виду: І.М/x-a; II.M/(x-a)^r,де к>1; III/ Mx+N/(x²+px+q), p²/4-q<(D<0); IV. Mx+N/(x²+px+q)^k, (k=>2) (D<0).

Інтегруючи найпростіші дроби одержимо:

І: ∫ M/(x-a)dx = M∫dx/(x-a)={x-a; dx=dt}=M∫dt/t =M ln(t) +C = M ln (x-a) +C;

II: ∫M/(x-a)^kdx=M∫dx/(x-a)^k={x-a=t;dx=dt}=M∫dt/t^k=M∫t^-kdt=Mt^-k+1/-k+1+c=M/-(k-1)(k-a)^k-1+c

III: ∫Mx+n/a²+bx+c dx=∫(M/2a(2ax+b)+N-Mb/2a)/ax²+bx+c dx=M/2a∫2ax+b/ax²+bx+c dx+(N-Mb/2a) ∫dx/ ax²+bx+c=M/2a lnI ax²+bx+c I+( N- Mb/2a).

57.Інтеграли від ірраціональних ф-цій

Не від всякої іррац. Ф-ції інтеграл можна виразити через елементарні ф-ції.Розглянемо ті іррац. ф-ції інтеграли від яких за доп. підстановок зводяться до інтегралів від рац. ф-цій, а значить до кінця інтегруються

∫R(x,x^m/n…….x^r/s)dx

Над величинами x, x^m/n, x^r/s виконується тільки рац. операції (піднесення до степеня, множення на число,додавання, віднімання і ділення).Нехай К – спільний знаменник дробів.Зробимо підстановку

x=t^kdx=kt^k-1dt

Тоді, кожна дробова степінь х виразиться через цілий степінь t і отже підінтегральна ф-ція перетвориться на раціональну ф-цію від t, а значить до кінця буде інтегруватися.

Розглянемо інтеграл виду

∫R(x(ax+b/cx+a)^m/n,…..(ax+b/cx+a)^r/s)dx

Цей інтеграл зводиться до інтегралу рац. ф-ції за доп. перестановки ax+b,cx+d=t^k,де л спільний знаменник дробів m/nі т.д.

58. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

а)

Розглянемо функцію виду:R(sinx, Cosx)dx,покажемо цей інтеграл за допомогою підстановки t = tgx/2/, яка наз. Універсальною, завжди зводиться до інтеграла від ірраціональних функцій.

1)Якщо функціяR(sinx,cosx)-непарна відносно sinx, тобто R(-sinx; cosx)=-R(sinx;cosx)/тоді застосовують підстановку /t=cos/ ( по модулю).

2) Якщо функція R(sinx;cosx)- непарна відносно cos, тобто R(sinx;-cosx)=-R(sinx; Cosx), тоді /t=sinx/.

3) Якщо функція R(sinx;cosx)-непарна відносно sinxIcosx, тобто R(-sinx; -cosx)=R(sinx;cosx),тоді /t=tgx/.

б)

1)m або n є непарне додатне ціле число;

m = 2k+1>0, /t = cos/

n = 2k+1>0, /t = sinx/.

2) Якщо m+n є парне від’ємне число, m+n = 2k<0, тодіt = tg x.

3)Якщо mі nє парні додатні числа, то m = 2k>=0;

m=2k>=0, тоді користуються формулою:

Ці формули дозволяють звести дані інтегралу до інтегралів від const і непарних степенів cosx і sinx.

в) добуток синусів і косинусів.

CosL*cosB= ½(cos(L-B)+cos(L+B)).

cosL*sinB=1/2(sin(L-B)+sin(L+B))

sinL*sinB= ½(cos(L-B)-cos(L+B))

Дані формули дозволяють представити добутки sinі cos у вигляді лінійної комбінації тих же функцій, але з другими аргументами.