45.Основні теореми диференціального числення. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші.

Теорема Ролля. Якщо ф-я f(x) неперервна на відрізку [а,в], диференційована в усіх внутрішніх точках цього відрізка, на кінцях відрізка обертається в нуль, то всередині відрізка [а,в] існує точка „с” така, що f^/(c)=0. a<=c<=b.Теорема Лагранжа. Якщо ф-я y=f(x) неперервна на відрізку (а,в) і диференційована в кожній точці цього відрізка, то всередині відрізка (а,в) знайдеться така точка „с” (принаймні одна) , що f(b)-f(a)/b-a=f^/(c).Теорема Коші. Якщо функції y=f(x) і y=g(x) неперервні на відрізку (а,в), диференційовані у всіх внутрішніх точках цього відрізку , при чому g^/(х) не =0 в жодній точці цього відрізка, тоді всередині відрізка (а,в) існує така точка „с”, що f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f^/(с)/g^/(c).

А<c<b.

46. Правило Лопіталя.

Якщо ф-ї y=f(x) і y=g(x) на відрізку (а,в) задовольняють умовам теореми Коші і обертаються в нуль, при х=а, тобто f(a)=g(a)=0, тоді якщо існує границя limf^/(х)/g^/(х), то існує границя limf(x)/g(x), при чому limf(x)/g(x)=limf^/(x)/g^/(x).

47.Зростання й спадання ф-ї. Необхідна і достатня умови зростання(спадання) ф-ї.

Означення: ф-я називається зростаючою на інтервалі (а,в) якщо для любих х₀ і х із цього інтервалу із умови х-х₀>f(x)>F(x₀).Тобто х-х₀=∆х>0.f(x)-f(x₀)=∆f(x)>0. Таким чином ф-я зростаюча, якщо приріст ф-ї і приріст аргументу одного знаку. Ф-я спадна, якщо приріст ф-ї і приріст аргументу різних знаків.

Теорема: якщо ф-я y=f(x) визначена на інтервалі (а,в) і має в кожній точці цього інтервалу похідні, то для зростаючих ф-й похідна невід”ємна, а для спадних ф-й похідна недодатня в кожній точці цього інтервалу. Достатня умова зростання(спадання) ф-ї: якщо ф-я y=f(x) визначена і диференційована в кожній точці відрізка (а,в), то якщо похідна (f^/(х))>0, то ф-я f(x) зростає, якщо похідна f^/(x)<0-ф-я спадає.

48.Екстремум ф-ї. Необхідна умова існування екстремуму. (Теорема Ферма).

Означення: точка х₀ із області визначення y=f(x) називається точкою min(max) цієї ф-ї , якщо знайдеться дельта окіл в точці х₀ , що для всіх х, що не співпадають із х₀ з цього околу виконується рівність: f(x₀)<f(x), [f(x₀)>f(x)]. Точки Min(max) називаються точками екстремуму. А значення ф-ї в цих точках екстремумом ф-ї. Теорема Ферма: якщо ф-я y=f(x) диференційована в точці х₀ і її околі, а точка х₀ –є точкою екстремуму цієї ф-ї, то похідна в точці х₀=0.Необхідна умова існування екстремумів в більш загальному вигляді формулюється так: якщо ф-я y=f(x) визначена в околі точки х₀ за виключенням може самої точки х₀, має в точці х₀ екстремум, то похідна в цій точці дорівнює нулю або нескінченості. Означення: точки, в яких перша похідна =0, або не існує називаються стаціонарними або критичними точками першого роду. Необхідна умова існування похідної це:

f^/(х)=0 або f^/(х)=+-нескінченості.

49..Опуклість і угнутість графіка ф-ї. Необхідна і достатня ознаки опуклості графіка ф-ї.

Означення: графік ф-ї y=f(x) називається опуклим на інтервалі (а,в) якщо графік розташований нижче любої дотичної , проведеної до графіка ф-ї в точках інтервала (а,в).Означення: графік ф-ї y=f(x) називається угнутим на відрізку (а,в) якщо графік розташований вище любої дотичної , проведеної до графіка ф-ї в точках інтервала (а,в). Достатня умова опуклості графіка ф-ї: нехай ф-я y=f(x) визначена і двічі неперервно диференційована в точці „х” інтервала (а,в). Тоді, якщо у всіх точках „х” інтервала (а,в) друга похідна у^//>0, то графік ф-ї буде угнутим(U). Якщо для любого „х”, що належить (а,в) у^//<0, то графік ф-ї опуклий(∩).

Точки перегину. Необхідна і достатня умови існування точок перегину.

Означення. Точка, яка відділяє опуклу частину неперервної кривої від угнутої наз. т. перегину.

Необхідна умова існування т. перегину.

1. Якщо ф-ція y=f(x) має неперервні похідні до 2-го порядку включно на [а; b], а т. Р₀ (х_о ; f(х_о )) є т. перегину графіка ф-ції, то f’’(х_о )=0.

2. Доведення. Так як т. Р₀ (х_о ; f(х_о )) є т. перегину графіка ф-ції, то зліва і справа від цієї т. y’’ має різні знаки, але за умовою теореми f’’(х) – неперервна ф-ція, тоді за властивістю неперервних ф-цій на відрізку f’’(х_о )=0, х_о є [а; b].

Достатня умова існування точок перегину.

Якщо ф-ція y=f(x) двічі неперервно-диференційована на [а; b] і при переході через т. х_о є [а; b] f’’(х) змінює свій знак, то т. Р₀ (х_о ; f(х_о )) є т. перегину графіка ф-ції.

1. x<х_о , f’’(х)>0 - y=f(x) – опуклий

2. x> х_о , f’’(х)<0, y=f(x) – угнутий

3. x< х_о , f’’(х)<0, y=f(x) – угнутий

4. x> х_о , f’’(х)>0, y=f(x) - опуклий