42.Параметричнезадання функції.Похідна від функції заданої параметрично

Поряд з явним і неявним заданням функції використ параметричне. При параметр заданні функції х і у є функції деякої змінної t, яка називається параметром. Кожному значенню параметру t відповідають значення х і у. Якщо х і у розглядати як координати точки на площині, то кожному параметру t відповідає певна точка площини. Якщоt змінюється від T₁ доT₂, то ця точка буде описувати деяку криву.

y^/_x= f^/_t / γ^/_t – похідна від функції, заданої параметрично.

.Логарифмічне диференціювання.

Логарифмічне диф:

Нехай задано функцію у=α(х) ^β(х). Щоб знайти похідну цієї функції потрібно спочатку про логарифмувати обидві частини функції.

lny = ln α(х) ^β(х) = β(x) * ln α(х) . А потім про диференціювати в припущенні що

1/у * у^/= β^/(x) * ln α(х) +( β(x)* α^/(х)/ α(х))

y^/=[ β^/(x) * ln α(х) + β(x)*( α^/(х)/ α(х))] y = [ β^/(x) * ln α(х) + β(x)*( α^/(х)/ α(х))] α(х) ^β(х)

Логарифм диф застос тоді, коли функція представлена як добуток декількох функцій і при диф степенево-показникових функцій.

43.Похідні вищих порядків.

Нехай ф-я у=f(x) диференційована на всій числовій осі. Похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку. у^/=f^/(x),(y/)=f^//(x). Часто трапляється що похідна другого порядку також є диференційованою ф-єю. Тоді похідну 3-го порядку знаходять як похідну від похідної 2-го порядку.(у^//)=f^///(х).Похідною к-го порядку називається похідна від похідної к-1го порядку:

(у^(к-1) )^/=f^(k)(x).

Похідні вищих порядків від ф-ї, заданої неявно. Нехай ф-я задана неявно F(x,y)=0 або у^/=f(x,y) (1).

Враховуючи, що у є ф-я від х, продиференцюємо ліву і праву частину рівності (1) по аргументу х, а потім у правій частині замінимо у^/ рівністю (1).Аналогічно поступаємо при визначенні похідної більш високих порядків.

Похідні вищих порядків від ф-й ,заданих параметрично. Якщо ф-я задана параметрично {^x=v(t)

y=f(t),то

у^/=f^|(t)/x^/(t),у^/=f^/(t)/x^/(t)=F(t) (*).Другу похідну від у по іксу знайдемо диференціюючи рівність по іксу. Маємо : y^//_хх=F^/_х(t)=dF(t)/dx=dF(t)/dt*dt/dx.

44.Диференціал функції. Застосування диференціала в наближених обчисленнях. Геометричний зміст диференціала і його властивості. Інваріантність.

Диференціалом функції у = f(x) назив головна частина приросту функції, лінійна відносно ∆х і позначається dy = y^/_x * ∆х. Знайдемо диф функції у=х, dx= (x)^/ *∆х=∆х. Таким чином, дифер незалежної змінної х дорівнює її приросту. А тому диференціал іноді записують dy = y^/dx.

Властивості диференціала:

1.d(c)=0

2.d(cu)=cu^/dx

3.d(u±v^/)=du±dv^/

4.d(uv)^/=vdu+udv

5.d(u/v)=(vdu -udv)/v²

Геометричний зміст диференціала:

Розглянемо функцію у = f(x) і її графік. Незай точка М(х_о;у_о) належить графіку. Через М₀ проведемо дотичну М₀Т до графіка під кутом α до додатного напрямку осі ОХ. Нехай х₀ одержав приріст ∆х. Тоді і у₀ одержав приріст ∆х. В ∆М₀NP: NP= ∆х* tg α = y^/(x₀)* ∆х= dy. Таким чином , диференціал функції- це приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) в даній точці, коли аргумент х одержує приріст ∆х.Але не завжди dy<∆y.