1.Матриця та їх види.Означення дії над ними.

Матрицею порядка М*N наз. прямокутна табл., що складається з MN чисел,які розсташованні m-рядках і n-стовпцях.Означ. матр. Великими буквами А,В,С, а їх елементи-маленькими з подвійною індексацією aij.Причому перший індекс вказує на № рядка,а Другий-на № стовпця в яких розсташованні ел. a і j.

Види матр.:

1.Квадратна-кількість рядків дорівнює кільк. стовпців.

2.Стовпова-матр. має 1 стовпець .

3.Рядок-має 1 рядок.

4.Нульова матр.-це матр., ел. якої дорівнюють 0.

5.Діагональна-матр. в якій всі ел. розсташованні поза гол. діагон. =0, а хоч би 1 із ел., що стоїть на гол. діагон. відмінний від 0.

6.Одиничною-квадратна матр. в якій всі ел. гол. діагон. =1,а решта =0.

7.Трикутною(верхньотрик.,нижньотрик.)-матр. у якої всі ел.,що розсташованні вище(нижче) гол. діагон. =0.

8.Транспонованна матр.-наз по відношенню до матр А,якщо замінити рядки матр. А її стовпцями або навпаки.

9.Симетричною-якщо при транспонуванні вона не змінюється .

Дві матр. наз. рівними, якщо вони одного розміру і відповідні ел. цих матр. рівні.

Під лін. операціями над матр.розуміють:

а).операція додавання-визначається для матр. одного порядка.

Під сумою(різницею) 2х матр. А(m*n) iB(m*n) розуміють матр. С(m*n), кожний елемент якої дорівнює сумі(різниці) відповідних ел. матр. А, В.

б).Операція множення матр. на число λ полягає в множенні кожного ел. матр. А на це число.

в).Операція множ 2х матр.

А і В визначена в тому випадку , коли кільк. стовпців 1ї матр. співпадає з кільк рядків 2ї матр.

Добутком 2х матр. А(m*k) iB(k*n) розуміють матр. С(m*n), кожний ел. якої = сумі добутків ел. і-го рядка матр.А на відповідні ел. j-го стовпця матр.В.

2.Визначники квадратних матр. та їх властивості.

Кожній квадратній матр. можно поставити у відповідність число, що наз. визначником (детермінантом) і обчислити за певними правилами.Познач.∆

Властивості:

1).вел. визн. не змінюється від заміни рядків його стовпцями(транспонування матр. її визн. не змінює)

2).вел. визн. від перестановки 2х його паралельних рядків (стовпців) змінює знак на протилежний.

3).визн. з 2ма однаковими паралельними рядками =0.

4).спільний множник з ел. ряду можно винести за знак визн.

5).величина визн. не зміниться, якщо до ел. одного ряду +ел. паралельного ряду, попередньо домноживши на деяке число.

3.Мінори і алгебраїчні доповнення.Теорема про розклад визн. за ел. якого-небудь ряду. Поняття про визн. n-го рядку

Розглянемо матр. n-го порядку А(п*п). Поставимо їй у відповідність визначник n-го порядку.

У визн. n-го порядку довільним способом виділемо ел. аiji викрислемо і-й рядок і j-й стовпець.Тобто той рядок і той стовпець на перетину яких знах. ел. аij .В рез. Одержимо визн.(п-1)го порядку,який назвимо мінором для ел. аij.Аij=(-1) Мij

Теорема Лапласа(про розклад визн. за ел. якого-небудь ряду)

Визн. п-го порядку=сумі попарних добутків ел. якого-небудь рядка(стовпця) на їх алгебраїчні доповнення. ∆=

4.Обернена матриця.Алгоритм обчислення.

Матриця А наз. оберненою до матр. А, якщо викон. Співвідношення А*А =Е*(А *А)=Е

Теорема про існування оберненої матр.:для всякої неособливої квадратної матр. існує обернена,яка обчислюється за певною формулою:А =А /∆

Алгоритм обчислення:

1.Знайти визначник матр. А,∆≠0

2.Знайти алгебраїчні доповнення до ел. матр. і скласти союзну матр., ел. якої є алгебраїчні доповнення Аij=(-1) Mij

3. Протранспонувати матр.

4.Елементи союзної транспонованої матр. поділити на величину визначника.

5.Зробимо перевірку: А*А =Е*(А *А-Е)

5.Ранг матр.Способи знаходження.Властивості.

Рангом матр. наз. найвищий порядок мінорів цієї матр.,якщо серед них є не нульовий.

Існують 2 способи знах. рангів:

1).Метод оточуючих мінорів(переход від мінорів нижчих порядків до мінорів більш високих порядків).

2).Елементарних перетворень

Властивості:

1.rgA<= min(m,n)

2.rgA=0, то А- нульове

3.якщо rgA квадратної матр.=її порядку. то визн. цієї матр. відмінний від 0

а).ранг матр. не змінеться, якщо протранспонувати матр.

б).поміняти місцями 2 паралельні ряди

в).викреслити нульовий ряд

г)домножити ел. якого-небудь ряду на довільне число відмінне від 0.

д).до ел. одног ряду додати ел. паралельного ряду попередньо домноживши їх на деяке число.

6.Система лінійних алгебраїчних рівнянь.Основні поняття і визначення.Теорема Кронекера-Капеллі.

Розв‘язком системи наз. сукупність чисел х ,х ,...х ,які при підстановці в систему кожне рівняння перетворять в тотожність.Система може мати, а може і не мати розвязок.Якщо система має розвязок-сумісна, не має-не сумісна, єдиний розвязок-наз визначеною,безліч-невизначеною.

Теорема Кронекера-Капеллі-для того,щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її основної матр.= рангу розширеної матр.Якщо ранг основної матр. дорівнює рангу розширеної матр. і дорівнює числу невідомих системи, то система має 1 розвязок.Якщо ранг основної матр.=рангу розширеної матр., але менший від числа невідомих системи, то система має безліч розвязків.

7.Метод оберненої матриці розвязку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратною невиродженою матр.Формули Крамера.

а 11х1+а12х2+....+а1nxn=b1

a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2

……………………………..

an1x1+an2x2+…+annxn=bn

AX=B *A -запис системи

A *АХ=A В

ЕХ=A В

Х=A В

Крамер

Нехай дано систему n-лін. рівнянь з 3n-невідомими

а11х1+а12х2=b1

а21х1+а22х2=b2 (1)

Домножимо 1р. на а22

2р-на (-а12)

3р-аn1

і складемо рівняння;після цьогоперше рівняння помножимо на а21,друге-на (-а11) і складемо одержані рівняння.Одержимо систему, еквівалентну системі (1) : (а11а22-а21а12)х1=в1а22-в2а12

(а11а22-а21а12)х2=в2а11-в1а21 (2)

систему (2) можна записати , використовуючи визначники

При розвязуванні системи можливі такі випадки:

1).∆≠0.Тоді система (3), а отже, і система (1) має один розвязок:

х1=∆1/∆, х2=∆2/∆

2).∆=0, ∆1≠0 або ∆2≠0 У цьому випадку система (1) несумісна.

3).∆=∆1=∆2=0 У цьому випадку система (1) складається з двох пропорційних рівнянь, тобто фактично зводиться до одного рівняння з двома невідомими, і тому має безліч розвязків :надаючи довільних значень одному невідомому, одержуватимемо значення іншого невідомого.

8.Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих. Метод Гауса.

Метод Гауса-це метод послідовного вилучення невідомих. За допомогою елементарних перетворень систему можна звести до рівносильної трапецієвидного або трикутного виду

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих Вважаємо, що серед коефіцієнтів при невідомому є відмінні від нуля. Нехай таким буде . Тоді перше рівняння системи (1)

почленно ділимо на і одержуємо

. (2)

Рівняння (2) множимо на і сумуємо з другим рівнянням системи (1); на і сумуємо з третім рівнянням; ..., на і сумуємо з -им рівнянням системи (1). Одержуємо систему, -е рівняння якої не містить невідоме .

Аналогічно, послідовно вилучаючи , одержуємо систему, що має вигляд . (3)

Поетапно піднімаючись знизу вгору в системі (3), знаходимо .

9.Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом повного виключення невідомих. Метод Жордано Гауса.

МетодЖордано Гауса -це метод повного вилучення невідомих. На першому кроці ми виключаємо змінну з усіх рівнянь системи крім першого.На другому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім другого, на третьому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім третього, на n-ому кроці змінна виключається з усіх рівнянь крім n-ого рівняння.

Запишемо так звану розширену матрицю системи

(1)

. (2)

За допомогою еквівалентних перетворень: на першому кроці ми виключаємо змінну з усіх рівнянь системи крім першого, на другому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім другого, на третьому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім третього, на n-ому кроці змінна виключається з усіх рівнянь крім n-ого рівняння. Матрицю (2) приводимо до вигляду

. (3)

Тоді з (3) знаходимо послідовно ,

Якщо за допомогою еквівалентних перетворень розширену матрицюВ (2) системи (1) привести до вигляду

, (4)

то отримаємо систему розв’язану методом Жордана-Гаусса.

10.Системма m-лінійних рівнянь з n-невідомими. Базисний мінор, базисні і вільні невідомі. Загальний і частинний розв’язок систем .

Розглянемо систему m лінійних алгебраїчних рівнянь відносно n невідомих:

(1)

Позначимо матрицю коефіцієнтів літероюА:

. (2)

Розширену матрицю літероюВ:

. (3)

Теорема

Якщо rang A=rang B, то система (1) сумісна. Якщо ця рівність не виконується, то система несумісна.

НАСЛІДОК

Якщо rang A=rang B=n, то система (1) має тільки один розвязок. Якщо ж rangA=rangBn, то система (1) має нескінченну множину розвязків.

розглянемо випадок, коли система сумісна, але ранг менше кількості невідомих, тобто випадок, коли система має нескінченну множину розвязків.

Якщо ранг матриці коефіцієнтів дорівнює r, існує якийсь . Він називається базисним мінором. Знайшовши цей базисний мінор, ми запишемо еквівалентну систему для системи (1). Для цього залишаємо тільки ті рівняння, коефіцієнти з яких утворили базисний мінор; при цьому члени рівнянь, коефіцієнти при яких не увійшли в базисний мінор, перенесемо вправо. Тоді одержимо систему r лінійних алгебраїчних рівнянь відносно r невідомих, а одержані праві частини відіграють роль вільних членів.

Для розвязання такої системи можна використати один із методів: формули Крамера, матричний спосіб, метод Гаусса, метод Жордана-Гаусса. Одержимо розвязок системи, де r невідомих будуть виражені через решту (n-r) невідомих, які мають назву незалежних невідомих.

Якщо надати цим невідомим довільні числові значення, то одержимо загальний розвязок системи. Щоб одержати часткові розв'язки системи, достатньо зафіксувати значення незалежних змінних.