Тема 5. Чисельне інтегрування і чисельне диференціювання.

Семінар «мозковий штурм»

План заняття.

Метод чисельного диференціювання функцій з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.

Методи обчислення визначених інтегралів із заданою точністю з використанням формул: прямокутників, трапецій, Сімпсона (парабол). Квадратурні формули інтерполяційного типу, формули Ньютона — Котеса

Ключові інструментальні компетентності

• Вміти швидко визначити наявність первісної

• Вміти проводити диференціювання функції

• Вміти визначати наявність розв'язку для визначеного інтегралу

• Вміння обчислювати визначені інтеграли..

• Прийняття рішень

Ключові міжособистісні компетентності

• Взаємодія (робота в команді).

Ключові системні компетентності

• Дослідницькі навички і уміння.

• Здатність працювати самостійно

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1; 3; 4; 6-10], пошук в Інтернеті.

Лабораторна робота №6 (4 години)

Тема та види інформаційних технологій:

Тема 6. Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь

Робота в малих групах

План заняття.

Методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їх систем (2 години)

Однокрокові методи розв’язання задачі Коші: метод Ейлера і його модифікації, методи Рунге-Кутта. Багатокрокові методи — методи Адамса. Методи розв’язання задачі Коші для жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь.

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (1 година)

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь: метод стрільби (балістичний), метод коллокації, метод Гальоркіна, метод найменших квадратів, метод скінченних різниць.

Методи розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними (1 година)

Метод прямих та метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Ключові інструментальні компетентності

• Вміти ідентифікувати види диференціальних рівнянь

• Вміти визначати найоптимальніший метод чисельного розв'язання диференційного рівняння та вміти його застосувати.

• Здатність до аналізу і синтезу інформації.

• Прийняття рішень

Ключові міжособистісні компетентності

• Взаємодія (робота в команді).

Ключові системні компетентності

• Здатність застосовувати знання на практиці.

• Здатність працювати самостійно.

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [1: 3: 4: 6-10; 20], пошук в Інтернеті.

Лабораторна робота №7 (4 години)

Тема 7 та види інформаційних технологій:

Тема: Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних

Семінар-дискусія з планування експерименту.

План заняття.

Проектування бази даних. Використання засобів для побудови ERD-діаграм.

Робота з реляційною базою даних: створення таблиць(основної, допоміжної), пов’язування (Join, Left Join, Right Join) таблиць за допомогою відношень One-To-One, One-to-Many, Many-To-Many, Many-To-One.

Упорядкування інформації у базі, сортування та індексування таблиць.

Робота з запитами.

Створення та використання форм.

Виконання реферату: Реферат №3 (2 частини).

Ключові інструментальні компетентності

• Здатність до аналізу і синтезу інформації.

• Розв’язання проблем

Ключові системні компетентності

• Здатність пристосовуватись до нових ситуацій.

Інформаційно-методичне забезпечення заняття.

Конспекти лекцій, літературні джерела [23-25], пошук в Інтернеті.

іЛабораторні завдання студенти допрацьовують під час самостійної роботи.

4.3. Плани контактних занять для студентів заочної форми навчання.

Контактне заняття 1. (2 години)

Тема1. Вступ.

Задачі і алгоритми обчислювальної математики.

5. Предмет і метод обчислювальної математики, її роль в дослідженні математичних та соціально-економічних моделей.

6. Проблеми, які виникають при виборі методу розв’язування задачі

7. Задачі обчислювальної математики та числові алгоритми.

8. Повна похибка обчислення розв’язку задачі: неусувна, методу, заокруглювання.

9. Оцінки складності алгоритмів та комп’ютерного часу обчислення розв’язку задачі.

10. Забезпечення розв’язання задач із заданими значеннями характеристик якості за точністю і швидкодією.

11. Нестійкість обчислювальних алгоритмів

Основи теорії похибок.

12. Наближені числа, їх абсолютні і відносні похибки. Правила наближених обчислень і оцінка похибок при обчисленнях: додавання і віднімання наближених чисел; множення і ділення наближених чисел

13. Похибки обчислень значень функції

14. Класифікація похибок..

15. Пряма та обернена задачі теорії похибок

Інструментальні засоби.

16. Класифікація та огляд засобів для обчислювальної математики.

17. Використання електронних таблиць для розв'язання задач чисельної математики.

18. Використання математичних та статистичних пакетів.

19. Реалізація чисельних методів в мовах програмування

Контактне заняття 2 — Тема 2. Методи розв’язання задач лінійної алгебри, нелінійних рівнянь та їх систем

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з дисципліною «Вища математика».

Розв'язання задач лінійної алгебри

1. Постановка задачі розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

2. Метод виключення Гауса. Метод Гауса с вибором головного елемента.

3. LU-розкладення.

4. Метод простої ітерації і метод Зейделя.

5. Розв'язання систем лінійних рівнянь великої розмірності.

6. Поняття власного значення і власного вектора квадратної матриці.

7. Метод ітерацій для пошуку максимального за модулем власного значення матриці

Розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим

8. Постановка задачі розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим.

9. Метод дихотомії, метод хорд, метод Ньютона, метод простої ітерації.

Розв'язання системи нелінійних рівнянь

10. Постановка задачі розв'язання систем нелінійних рівнянь.

11. Метод Ньютона, метод простої ітерації.

12. Метод найменших квадратів.

Контактне заняття 3 — Тема 4. Методи інтерполяції, наближення та мінімізації функцій

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з дисциплінами математичного циклу.

Методи інтерполяції на наближення

1. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках: інтерполяційний многочлен Лагранжа, ітерполяційний многочлен Ньютона.

2. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, сплайнами: лінійні сплайни, квадратичні сплайни, кубічні сплайни.

3. Апроксимація функцій методом найменших квадратів.

4. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, розкладом їх у ряд Фур’є. Швидке дискретне перетворення Фур’є.

Методи і алгоритми мінімізації унімодальних багатоекстремальних функцій однієї змінної.

5. Алгоритм золотого перетину знаходження точки мінімуму унімодальної функції.

6. Алгоритми перебору на рівномірній і нерівномірній сітках для обчислення глобального мінімуму функції, яка задовольняє умову Ліпшиця.

Методи безумовної мінімізації випуклих функцій багатьох змінних

7. Методи й алгоритми мінімізації випуклої функції багатьох змінних: алгоритми градієнтного спуску, покоординатного спуску у по випадковому напрямку.

Методи мінімізації функцій багатьох змінних при обмеженнях на змінні.

8. Методи й алгоритми послідовної безумовної мінімізації з використанням штрафних функцій і функцій нев’язок.

Методи глобальної мінімізації багатоекстремальних функцій багатьох змінних

9. Методи й алгоритми перебору на рівномірних і нерівномірних сітках, випадкового пошуку і локального спуску

Контактне заняття 4 — Тема 5. Чисельне інтегрування і чисельне диференціювання

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою

1. Метод чисельного диференціювання функцій з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.

2. Методи обчислення означених інтегралів із заданою точністю з використанням формул: прямокутників, трапецій, Сімпсона (парабол).

3. Квадратурні формули інтерполяційного типу, формули Ньютона — Котеса.

Контактне заняття 5 — Тема 6. Методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їх систем та методи розв'язання крайових задач

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою.

Методи розв'язання задачі Коші.

1. Однокрокові методи розв’язання задачі Коші: метод Ейлера і його модифікації, методи Рунге-Кутта.

2. Багатокрокові методи — методи Адамса.

3. Методи розв’язання задачі Коші для жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь.

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

4. Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь:

   1. метод стрільби (балістичний),

   2. метод коллокації,

   3. метод Гальоркіна,

   4. метод найменших квадратів,

   5. метод скінченних різниць.

Методи розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними

5. Метод прямих та метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними

Контактне заняття 6 — Тема 6. Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних.

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з мате математичною статистикою та економетрикою

1. Основи теорії експерименту. Етапи планування експерименту.

2. Спостереження та експеримент, як основа математичного моделювання.

3. Факторні експерименти. Центральні композиційні плани.

4. Регресійний аналіз та оптимальне планування.

4.4. Плани навчальної роботи для студентів заочної форми навчання в міжсесійний період.

Тема для самостійного опрацювання №1

Задачі і алгоритми обчислювальної математики.

Задачі обчислювальної математики та числові алгоритми.

Оцінки складності алгоритмів та комп’ютерного часу обчислення розв’язку задачі. Забезпечення розв’язання задач із заданими значеннями характеристик якості за точністю і швидкодією.

Нестійкість обчислювальних алгоритмів

Тема для самостійного опрацювання №2

Інструментальні засоби чисельної математики

Класифікація та огляд засобів для обчислювальної математики.

Реалізація чисельних методів в мовах програмування.

Тема для самостійного опрацювання №3

Методи розв’язання задач лінійної алгебри.

Розв'язання систем лінійних рівнянь великої розмірності.

Метод ітерацій для пошуку максимального за модулем власного значення матриці.

Тема для самостійного опрацювання №4

Методи інтерполяції і наближення функцій

Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, сплайнами: лінійні сплайни, квадратичні сплайни, кубічні сплайни.

Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, розкладом їх у ряд Фур’є. Швидке дискретне перетворення Фур’є.

Тема для самостійного опрацювання №5

Методи глобальної мінімізації багатоекстремальних функцій багатьох змінних

Методи й алгоритми перебору на рівномірних і нерівномірних сітках, випадкового пошуку і локального спуску.

Тема для самостійного опрацювання №6

Методи розв’язання крайових задач

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь: метод стрільби (балістичний), метод коллокації, метод Гальоркіна, метод найменших квадратів, метод скінченних різниць.

Метод прямих та метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Тема для самостійного опрацювання №7

Методи обробки експериментальних даних.

Факторні експерименти.

Центральні композиційні плани.

Оптимальне планування.

5.  Самостійна робота студентів.

Завдання для самостійного опрацювання студентами очної форми навчання

Завдання №1

Задачі і алгоритми обчислювальної математики.

• Розв'язування практичних завдань з тем:

  • Повна похибка обчислення розв’язку задачі: неусувна, методу, заокруглювання.

  • Оцінки складності алгоритмів та комп’ютерного часу обчислення розв’язку задачі.

• Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.

• Інтерпретація та оформлення результатів.

Завдання №2

Інструментальні засоби чисельної математики

• Дослідження властивостей та особливостей роботи математичних та статистичних пакетів:

  • MatLab (GNU Octave)

  • MatCad

  • Maple

  • SPSS (PSPP)

  • Інші

• Формування висновків.

Завдання №3

Методи розв’язання задач лінійної алгебри.

• Розв'язування практичних завдань з тем:

  • Розв'язування СЛАР:

    • Метод виключення Гауса.

    • Метод простої ітерації і метод Зейделя.

  • Метод ітерацій для пошуку максимального за модулем власного значення матриці.

• Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.

• Інтерпретація та оформлення результатів.

Завдання №4

Методи розв’язання нелінійних рівнянь

• Розв'язування практичних завдань з тем:

  • Знаходження усіх коренів нелінійного рівняння:

    • методом дихотомії,

    • методом хорд,

    • методом Ньютона,

    • методом простої ітерації.

• Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.

• Інтерпретація та оформлення результатів.

Завдання №5

Методи інтерполяції і наближення функцій

• Розв'язування практичних завдань з тем:

  • Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках: інтерполяційний многочлен Лагранжа, ітерполяційний многочлен Ньютона.

  • Апроксимація функцій методом найменших квадратів.

• Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.

• Інтерпретація та оформлення результатів.

Завдання №6

Методи і алгоритми мінімізації функцій однієї змінної.

• Розв'язування практичних завдань з тем:

  • Алгоритм золотого перетину знаходження точки мінімуму унімодальної функції.

  • Алгоритми перебору на рівномірній і нерівномірній сітках для обчислення глобального мінімуму функції, яка задовольняє умову Ліпшиця.

• Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.

• Інтерпретація та оформлення результатів.

Завдання №7

 Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних.

• Розв'язування практичних завдань з тем:

  • Планування експерименту

  • Регресійний аналіз та оптимальне планування.

• Реалізація чисельних алгоритмів із зазначених тем.

• Інтерпретація та оформлення результатів.

6. Поточний і підсумковий контроль знань.

6.1. Очна форма навчання.

Карта самостійної роботи студента

Очна форма навчання:

для студентів напряму підготовки ЕКОНОМІКА ПІДПРИЄМСТВ

галузі знань (спеціальності) ЕКОНОМІЧНА КІБЕРНЕТИКА

Номер заняття	Форма самостійної роботи студента	Види занять	Максимальна кількість балів
За систематичність і активність роботи на лабораторних заняттях
1 — 2	опрацювання теоретичних основ прослуханого лекційного матеріалу, обов’яз­кової та додаткової літератури, тощо; вивчення окремих тем або питань, що передбачені для самостійного опрацювання; попередня підготовка з визначених питань; підготовка до експрес-тестів.	Лабораторне заняття 1. Міні-тренінг	10
3 — 4		Лабораторне заняття 2. Робота в малих творчих групах	10
5 — 6		Лабораторне заняття 3. Міні-тренінг	10
7 — 8		Лабораторне заняття 4. Міні-тренінг	10
9 — 10		Лабораторне заняття 4. Робота в малих творчих групах	10
11 — 12		Лабораторне заняття 5. Робота в малих творчих групах	10
13 — 14		Лабораторне заняття 6. Робота в малих творчих групах	10
15 — 16		Лабораторне заняття 7. Робота в малих творчих групах	10
Змістовий модуль			80
Разом балів за роботу на семінарських (практичних, лабораторних) заняттях			80
За виконання модульних (контрольних) завдань
Модуль	Написання модульної контрольної роботи		10
Разом балів за модульний контроль			10
За виконання індивідуальних завдань
Види індивідуальних завдань (студент обирає не більше 2-х завдань упродовж семестру)
1. Виконання індивідуальних розрахункових робіт фахового спрямування			5
2. Створення структурованого документу відповідно до технічного завдання			5
3. Підготовка власних досліджень до конференцій			5
4. Підготовка презентації за заданою тематикою			5
5. Пошук, підбір та огляд джерел за заданою тематикою			5
6. Аналіз конкретних практичних ситуацій (Case study) фахового спрямування			5
Разом балів за виконання індивідуальних завдань			10
Всього балів за СРС			100

Максимальна кількість балів за певний вид робіт	Кількість балів, отримана студентом залежно від рівня знань
	Рівень знань:
	відмінний	добрий	задовільний	незадовільний
5	5	4	3	0
10	10	4	6	0