Тема 1.4. Законы распределения случайных величин

1.4.1. Биномиальное распределение

Пусть проводятся n испытаний по схеме Бернулли с вероят­ностью успеха р и вероятностью неуспеха q и p + q = 1. В этом случае дискретная случайная величина Х – число успехов может принимать любое из своих возможных значений с вероятностями, определяемыми по формуле Бернулли:

Такое распределение называется биномиальным с парамет­рами р и q.

Заметим, что сумма этих вероятностей будет равна:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение будет определяться форму­лами:

ПРИМЕР: Случайная величина Х – число выпадений герба при двух бросаниях монеты имеет биномиальное распределение с возможными значениями и с вероятностями этих значе­ний, рассчитываемыми по формуле Бернулли соответ­­­­­­ствен­но равными: р₀ = 0,25, р₁ = 0,5 и р₂ = 0,25. При этом:

1.4.2. Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если она принимает значения k = 1, 2, 3, … (счетное множество значений) с вероятностями, определяемыми формулой:

Определение является корректным, поскольку сумма вероятностей возможных значений будет равна:

Случайная величина Х, имеющая геометрическое распреде­ле­ние, представляет собой число испытаний по схеме Бернулли до первого успеха. Математическое ожидание и дисперсия такой величины определяются формулами:

ПРИМЕР: В большой партии изделий вероятность брака равна р. Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружилось, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность р.

Пусть Х – число испытаний до первого появления бракован­ного изделия. Эта случайная величина имеет геометрическое распределение. Согласно условию ее среднее значение равно: , поэтому р = 1 / 10.

1.4.3. Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она принимает целые значения k = 0, 1, 2, … с вероят­ностями, определяемыми по формуле Пуассона:

где  > 0 – параметр распределения. При этом:

Математическое ожидание и дисперсия величины Х в этом случае:

1.4.4. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена равно­мер­но на отрезке [a, b], если ее плотность распределения имеет вид:

График функции плотности распределения в этом случае приведен на рис. 1.2.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются формулами:

ПРИМЕР: Интервал движения автобуса равен 15 минутам. Какова вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус более 5 минут?

Пусть случайная величина Х – время ожидания автобуса. Она распределена равномерно на отрезке [0, 15], а ее плотность распределения имеет вид:

Тогда искомая вероятность будет равна: