Тема 1.6. Закон больших чисел

1.6.1. Неравенства Маркова и Чебышева

Если все значения случайной величины Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание , то для любого числа  > 0 справедливо неравенство Маркова:

Если для случайной величины Х существует ее математи­ческое ожидание и дисперсия , то для любого числа  > 0 справедливо неравенство Чебышева:

ПРИМЕР: Среднее число дождливых дней в году в данном районе равно 80. Оцените вероятность того, что в этом районе будет не более 100 дождливых дней в году.

Пусть случайная величина Х – число дождливых дней в году. Применив неравенство Маркова, получим:

1.6.2. Закон больших чисел

Приведем закон больших чисел (теорему Чебышева) в упрощенной формулировке, пригодной для решения практических задач.

Теорема Чебышева

Если случайные величины независимы и одинаково распределены с математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными постоянным числом С, т.е. , то справедливо неравенство:

При n из неравенства теоремы Чебышева вытекает:

Закон больших чисел

Смысл закона больших чисел заключается в следующем. Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточного большого числа случайных величин с большой, близкой к единице, вероятностью принимает значения весьма близкие к постоянному числу, равному математическому ожиданию этих величин.

Другими словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало.

ПРИМЕР: Номинальное значение диаметра втулки составля­ет 5 мм, а дисперсия, обусловленная погрешностью изготовления, не превосходит 0,01. Оцените вероятность того, что размер диаметра втулки будет отличаться от номинала не более, чем на 0,5 мм.

По теореме Чебышева:

1.6.3. Теорема Бернулли

Частным случаем закона больших чисел является теорема Бернулли.

Теорема Бернулли

Пусть имеется n испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и q = 1 – p и m – число успехов, тогда для любого числа   0 справедливо неравенство:

Из неравенства теоремы Бернулли следует закон больших чисел в форме Бернулли:

Теорема Бернулли утверждает, что относительная частота события А стремится к его вероятности, так что при больших n отклонение относительной частоты от вероятности становится сколь угодно малым. Эту теорему в некотором смысле можно считать обоснованием статистического определения вероятности.

ПРИМЕР: Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства превысила 0,75, если вероятность появления данного события в одном испытании составляет 0,8?

По теореме Бернулли запишем: