Тема 2.3. Проверка статистических гипотез

2.3.1. Основные понятия и определения

Статистической гипотезой называется любое предполо­же­ние либо о виде неизвестного распределения, либо о параметрах известного распределения.

Нулевой или основной называется выдвигаемая гипотеза, которая и подлежит проверке, ее обозначают: .

Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза, противоречащая нулевой гипотезе, ее обозначают: .

Простой называется гипотеза, содержащая только одно пред­по­ло­жение.

Сложной называется гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

ПРИМЕРЫ: Если параметр показательного распределения, то нулевая гипотеза будет простой, а конкурирующая гипотеза будет сложной.

Обычно нулевая гипотеза является простой, в то время как конкурирующая гипотеза может быть как простой, так и сложной.

Проверку верности (правильности) нулевой гипотезы проводят статистическими методами с учетом конкурирующей гипотезы. В результате проверки может быть принято правильное или неправильное решение, т.е. может быть совершена ошибка.

Ошибка первого рода состоит в том, что в результате проверки отвергается верная нулевая гипотеза (т.е. принимается неверная конкурирующая гипотеза). Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается .

При этом величина будет равна вероятности принятия верной нулевой гипотезы и называется уровнем доверия.

Ошибка второго рода состоит в том, что в результате проверки принимается неверная нулевая гипотеза (т.е. не принимается верная конкурирующая гипотеза). Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается .

При этом величина будет равна вероятности принятия верной конкурирующей гипотезы и называется мощностью критерия.

Критерием называется случайная величина К, которая служит для статистической проверки нулевой гипотезы. В качестве критерия обычно используют специально подобранную случайную величину с хорошо известным распределением, не зависящим от данных выборки.

Наблюдаемым значением критерия называется значение критерия, найденное по данным выборки.

После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза принимается, а другое – при которых она отвергается.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия (нулевой) гипотезы называется сово­куп­ность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки нулевой гипотезы: если наблюдаемое значение критерия принадлежит к критической области, то нулевую гипотезу отвергают, если же наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.

Критическими точками называются значения критерия К, которые отделяют критическую область от области принятия гипотезы.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критическую область.

Правосторонняя критическая область определяется неравен­ством . При этом критическая точка ищется по таблице значений выбранного критерия К, исходя из условия, что при справедливости нулевой гипотезы должно выполняться равенство: , где уровень значимости. В этом случае проверка нулевой гипотезы сводится к сравнению наблюдаемого значения критерия и критической точки. Если наблюдаемое значение лежит справа от критической точки, то нулевую гипотезу отвергают, если же слева – принимают.

Левосторонняя критическая область определяется неравенством . В этом случае критическая точка ищется аналогично с тем лишь отличием, что при справедливости нулевой гипотезы должно выполняться равенство: , где уровень значимости, а процесс проверки нулевой гипотезы также сводится к сравнению наблюдаемого и критического значений критерия. Если наблюдаемое значение лежит слева от критической точки, то нулевую гипотезу отвергают, если же справа – принимают.

Для двусторонней критической области две критические точки ищутся из условия . При этом, если наблюдаемое значение критерия лежит между критическими точками, то нулевую гипотезу принимают, если оно окажется слева от первой критической точки, или справа – от второй – отвергают.

Следует иметь в виду, что проверка нулевой гипотезы не может дать точного суждения о верности или неверности этой гипотезы, поскольку принятие гипотезы всегда происходит на некотором принятом уровне надежности и основывается на значениях конечной выборки. Поэтому принятие нулевой гипотезы означает, что на принятом уровне надежности данная гипотеза не противоречит имеющимся выборочным данным.