Тема 1.3. Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате одного испытания принимает одно и только одно возможное значение, априори неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

ПРИМЕРЫ:

1. Количество родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, а числа от 0 до 100 – возможные значения этой случайной величины.

2. Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, возможные значения которой располагаются в пределах отрезка с границами, соответствую­щими минимальной и максимальной дальности полета снаряда.

Случайные величины принято обозначать прописными латинскими буквами: X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – строчными буквами: x, y, z и т.д.

Функцией распределения случайной величины Х называ­ется функция F(x), определяющая вероятность того, что величина Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = P(X < x).

1.3.1. Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга возможные значения, или множество ее возможных значений является конечным или счетным.

3. ПРИМЕР: В предыдущем примере количество родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть дискретная случай­ная величина, а числа от 0 до 100 – возможные значения этой дискретной случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями, т.е. вероятностями событий (Х = х). При этом закон распределения может быть задан таблично (в виде табли­цы), аналитически (в виде формулы для расчета вероятностей) и графически (в виде полигона).

Наиболее часто закон распределения дискретной случайной величины задается в виде таблицы:

Х	х1	х2	…	хn
Р	р1	р2	…	рn

Поскольку в одном испытании случайная величина может принять одно и только одно возможное значение, события образуют полную группу, поэтому: .

ПРИМЕР: В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 рублей и 10 выигрышей по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша владельца одного лотерейного билета.

Возможными значениями величины Х являются: х₁ = 1000, х₂ = 100, х₃ = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: р₁ = 0,01; р₂ = 0,1 и р₃ = 1 – (р₁ + р₂) = 0,89. Поэтому искомый закон распределения можно представить в виде:

Х	1000	100	0
Р	0,01	0,1	0,89

Кроме закона распределения, дискретную случайную можно характеризовать числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется число, определяемой формулой:

Математическое ожидание имеет смысл среднего значения случайной величины. Если число возможных значений случайной величины Х конечно и равно n, а вероятности этих значений p_n = 1 / n, то математическое ожидание совпадает с обычным средним значением величин , т.е. .

Математическое ожидание обладает следующими основны­ми свойствами:

1. М(С) = С, где С – постоянная величина.

2. М(СХ) = СМ(Х), где С – постоянная величина.

3. М(Х  Y) = M(X)  M(Y) для любых величин Х и Y.

4. M(XY) = M(X)M(Y), если Х и Y – независимые величины.

Для оценки степени рассеивания значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится понятие дисперсии.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется число, равное математическому ожиданию квадрата разности [X – M(X)], для дискретных случайных величин дисперсия определяется формулой:

Для практических вычислений дисперсии обычно используют более удобную формулу:

Дисперсия обладает следующими основными свойствами:

1. D(C) = 0, где С – постоянная величина.

2. D(CX) = C²D(X), где С – постоянная величина.

3. D(X  Y) = D(X) + D(Y), если Х и Y – независимые величины.

Другой мерой рассеивания случайной величины, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина, является среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением (Х) случайной величины Х называется число, определяемое формулой:

.

ПРИМЕР: Для дискретной случайной величины Х – стоимо­сти выигрыша владельца одного лотерейного билета предыду­щего примера имеем:

Для дискретной случайной величины с известным законом распределения функция распределения будет являться кусочно-постоянной функцией с ординатами:

При этом скачки значений функции F(x) в точках разрыва x = x_i будут равны p_i.

ПРИМЕР: Для дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,2	0,1	0,4

г рафик функции распределения будет иметь вид, представлен­ный на рис. 1.1.

Перечислим основные свойства функции распределения:

1. Функция распределения – монотонно неубывающая функция.

2. Функция распределения непрерывна слева.

3.