Колебания и волны

1. Процесс, при котором зависимость какой-либо характеристики системы (например, координаты точки) от времени описывается гармоническими функциями (синус или косинус), называется гармоническими колебаниями. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

,

где х(t) – смещение точки от положения равновесия в момент времени t; А – амплитуда, т.е. модуль максимального смещения; ( t + ₀) – фаза колебаний;  – циклическая частота; ₀ – начальная фаза.

2. Время, в течение которого система совершает одно полное колебание, называется периодом Т. Он однозначно связан с циклической частотой соотношением

.

3. Частота колебаний ν – это количество колебаний, совершаемое за единицу времени, т.е. величина, обратная периоду

.

4. Циклическая частота  зависит от внутренних свойств колеблющейся системы

− для тела на пружине , где k – жесткость пружины, m – масса груза;

− для математического маятника , где l – длина нити маятника, g – ускорение свободного падения.

5. Проекция скорости колеблющейся точки v_х определяется как производная от координаты по времени

,

где - максимальная скорость колеблющегося тела.

6. Проекция ускорения колеблющейся точки а_х определяется как производная от проекции скорости по времени

,

где  - максимальное ускорение колеблющегося тела.

7. Потенциальная энергия материальной точки массой m, совершающей незатухающие гармонические колебания на пружине жесткостью k, равна

,

8. Кинетическая энергия

.

9. Полная механическая энергия

.

Таким образом, при незатухающих колебаниях полная механическая энергия системы сохраняет постоянное значение.

Пример.

Тело массой m = 2 кг совершает гармонические колебания по закону , мм. Найти амплитуду колебаний, их период, частоту, начальную фазу. Определить максимальные скорость и ускорение. Найти полную энергию тела.

Решение:

Запишем уравнение колебаний через функцию косинуса , мм и сравним его с уравнением гармонических колебаний в общем виде . В результате сравнения получаем амплитуду А = 5 мм; циклическая частота  рад/с; начальная фаза  рад.

Зная циклическую частоту ω, найдем период и частоту колебаний  с;  Гц.

Максимальная скорость колеблющегося тела  мм/с; максимальное ускорение колеблющегося тела  мм/с².

Полная энергия тела .

Молекулярная физика и термодинамика

1. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

,

где р – давление газа, V – занимаемый газом объем, Т – абсолютная температура газа, m – масса газа,  – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.

Отношение представляет собой количество вещества, выражаемое в молях. Тогда уравнение Менделеева – Клапейрона можно записать

.

2. При неизменной массе газа из уравнения Менделеева – Клапейрона легко найти соотношения между параметрами состояния p, V и T в так называемых изопроцессах:

− в изохорическом процессе (при постоянном объеме )

;

− в изобарическом процессе (при постоянном давлении )

;

− в изотермическом процессе (при постоянной температуре )

.

3. Внутренняя энергия газа U – это суммарная энергия всех молекул. Для идеального газа внутренняя энергия может быть рассчитана как

,

где i – число степеней свободы молекулы газа. Число степеней свободы определяется в зависимости от количества атомов в молекуле: для одноатомных газов (инертные газы, пары металлов) i = 3; для двухатомных (H₂, O₂, CO и др.) при обычных температурах i = 5; для многоатомных (CO₂, NH₃, H₂0 и др.) i = 6.

4. Количество теплоты – это энергия, передаваемая газу в результате теплообмена

,

где с – удельная теплоемкость газа, С – молярная теплоемкость.

.

Теплоемкость газа зависит от числа степеней свободы его молекулы и процесса, протекающего в газе.

5. При расширении газ совершает работу

,

где V₁ и V₂ – объем газа до и после расширения.

6. Первое начало термодинамики отражает закон сохранения и превращения энергии:

,

где Q – количество тепла, подведенного к газу; U – изменение внутренней энергии газа; А – работа, совершенная газом над внешними телами. Если тепло отводится, то величина Q < 0, если работа совершается над системой внешними силами (например, при сжатии газа), то величина A < 0.

7. В зависимости от совершаемого газом процесса количество тепла, изменение внутренней энергии и работа рассчитываются следующим образом:

− в изохорическом процессе

А = 0,

,

где Т_н и Т_к – соответственно начальное и конечное значения температуры; C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме;

;

− в изобарическом процессе

,

,

где V_н и V_к – начальный и конечный объем; C_p – молярная теплоемкость при постоянном давлении;

;

изменение внутренней энергии U определяется выражением

;

− в изотермическом процессе

,

.

8. Процесс, в ходе которого система не обменивается теплом с окружающими телами (Q = 0), называется адиабатическим. Параметры состояния в таком процессе связаны соотношением

,

где  – показатель адиабаты, равный

.

Для адиабатического процесса

.

Пример.

Какое количество теплоты надо сообщить кислороду О₂ массой m = 12 г, чтобы нагреть его на Δt = 50⁰С при постоянном давлении.

Решение: