Динамика материальной точки

1. Основной закон динамики для поступательного движения (второй закон Ньютона)

,

где а – ускорение тела,  - силы, действующие на тело,  - равнодействующая сила, m – масса тела.

Т.к. второй закон Ньютона записан в векторном виде, то использовать его для расчетов можно только после проектирования сил и ускорения на оси ОX и ОY:

.

2. Некоторые силы, встречающиеся в задачах по механике

− сила тяжести F_т действует со стороны Земли на все тела, находящиеся вблизи ее поверхности. Сила направлена вертикально вниз (к центру Земли) и равна

,

где  м/с² – ускорение свободного падения.

− сила упругости F_упр возникает в упругих телах (например, в пружине) при их деформации. По абсолютной величине эта сила в довольно широких пределах прямо пропорциональна деформации l:

F_упр = kl,

где k – коэффициент жесткости пружины; сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации.

− реакция опоры N действует на тело, соприкасающееся (но не связанное) с опорой. Она всегда направлена от опоры перпендикулярно ее поверхности;

− сила натяжения F_н  всегда направлена от тела вдоль связи;

− сила трения скольжения F_тр возникает при контакте поверхностей двух твердых тел; сила всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, и по величине прямо пропорциональна силе, с которой тело прижато к поверхности, по которой оно скользит, т.е. силе нормальной реакции опоры:

F_тр = N,

где  – коэффициент трения, учитывающий свойства трущихся друг о друга поверхностей;

− выталкивающая (архимедова) сила F_А действует на тело, погруженное в жидкость, и направлена вверх

где _ж – плотность жидкости; V_погр – объем погруженной части тела;

− сила тяги F_тяги возникает при включении двигателя и направлении по направлению движения тела;

− вес тела P - сила, с которой оно давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. Из третьего закона Ньютона следует, что эта сила равна по величине соответственно либо нормальной реакции опоры (P = N), либо силе натяжения подвеса (P = F_н);

− сила сопротивления F_С возникает при движении тела в газе или жидкости; сила направлена в сторону, противоположную движению тела, и по величине прямо пропорциональна скорости тела v:

F_С = bv,

где b- коэффициент сопротивления, зависящий от свойств среды, формы и размеров тела.

Так для шарообразного тела, движущегося в вязкой жидкости сила сопротивления определяется по формуле Стокса

,

где η – коэффициент вязкости жидкости, r – радиус шара.

П ример 1

Наклонная плоскость (см. рис.) составляет с горизонтом угол  = 30^о . Брусок А и груз В связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Трение в блоке, а также его масса пренебрежимо малы. Масса бруска А равна 100 г, а бруска В - 500 г; коэффициент трения его о плоскость равен 0,1. С каким ускорением будут двигаться бруски?

Решение:

Н а рисунке изобразим силы, которые действуют в данном случае на каждый брусок. Для бруска А это сила тяжести , сила реакции опоры , сила трения и сила натяжения нити , а для бруска В это сила тяжести и сила натяжения нити . Силы натяжения нитей для обоих брусков одинаковы согласно третьему закону Ньютона, т.к. это силы, с которыми бруски взаимодействуют друг с другом. Предположим, что брусок В перевешивает брусок А и движется вниз. Тогда ускорения брусков направлены так, как показано на рисунке, и одинаковы по модулю, т.к. бруски связывает нерастяжимая нить.

Запишем второй закон Ньютона для брусков А и В в проекциях, причем для каждого бруска выберем свои системы координат: для бруска А – XOY, а для бруска В – ОХ’.

брусок А ось ОХ ;

ось ОY ;

брусок В ось ОХ’ .

Проекции силы тяжести : ; .

Сила трения ; из второго уравнения закона Ньютона получаем , тогда .

Перепишем первое уравнение закона Ньютона . Сложим это уравнение с уравнением, полученным для груза В.

.

Отсюда получаем

м/с²

Пример 2.

Тело массой 2,5 кг подвешено к динамометру. На сколько изменятся показания динамометра, если его начать поднимать вверх с ускорением 1 м/с²?

Решение:

Н а рисунке изобразим силы, которые действуют на тело. Это сила тяжести , сила реакции подвеса .

Динамометр показывает вес тела, который по третьему закону Ньютона равен силе реакции опоры .

По второму закону Ньютона в проекциях на ось ОХ .

Если система находится в покое, то и .

При движении с ускорением вверх .

Тогда разница показаний динамометра

Н.