2. А) Альтернативна гіпотеза .

З таблиці критичних точок точок розподілу (таблиця № 7 додатку 2) за рівнем значущості і числом ступенів вільності знаходять критичну точку критерію .

Якщо - нульову гіпотезу приймають.

Якщо - нульову гіпотезу відхиляють.

б) Альтернативна гіпотеза .

З таблиці критичних точок розподілу (таблиця № 7 додатку 2) за рівнем значущості і числом ступенів вільності знаходять критичну точку критерію .

Якщо - нульову гіпотезу приймають.

Якщо - нульову гіпотезу відхиляють.

в) Альтернативна гіпотеза .

З таблиці критичних точок розподілу (таблиця № 7 додатку 2) за рівнем значущості і числом ступенів вільності знаходять ліву і праву критичні точки двосторонньої критичної області : і .

Якщо - нульову гіпотезу приймають.

Якщо або - нульову гіпотезу відхиляють.

Зауваження

Якщо число ступенів вільності , то критичні точки можна знайти за рівністю Уілсона-Гільферті :

,

де - знаходять за таблицею функції Лапласа (таблиця № 2 додатку 2) з рівності : .

Приклад 6.1

З нормально розподіленої генеральної сукупності зроблено вибірку об’єму і за нею обчислено виправлену вибіркову дисперсію .

При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу

Нехай альтернативна гіпотеза .

Тоді .

Альтернативна гіпотеза тому критична область двостороння.

Число ступенів вільності . З таблиці критичних точок розподілу (таблиця № 7 додатку 2) знаходимо критичні точки :

- ліва

- права.

Оскільки , то нульову гіпотезу приймаємо. 

Приклад 6.2

З нормально розподіленої генеральної сукупності зроблено вибірку об’єму і за нею обчислено виправлену вибіркову дисперсію .

При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу якщо альтернативна гіпотеза .

Знаходимо спостережуване значення критерію . Критична область лівостороння, бо альтернативна гіпотеза .

Число ступенів вільності . З таблиці критичних точок розподілу (таблиця № 7 додатку 2) знаходимо критичну точку:

.

Оскільки , то нульову гіпотезу відхиляємо. 

Приклад 6.3

З нормально розподіленої генеральної сукупності зроблено вибірку об’єму і за нею обчислено виправлену вибіркову дисперсію .

При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу якщо альтернативна гіпотеза .

Знаходимо спостережуване значення критерію .

Критична область правостороння, бо альтернативна гіпотеза . Знаходимо критичну точку наближено із рівності Уілсона-Гільферті :

,

де таке, що .

Отже, .

За таблицею функції Лапласа (таблиця № 2 додатку 2) знаходимо .

Тоді .

Оскільки - нульову гіпотезу приймаємо. 

6.2.2 Порівняння дисперсій двох нормально розподілених генеральних сукупностей

Нехай дві нормально розподілені випадкові величини та задані незалежними вибірками об’ємів і .

Завдання полягає в тому, щоб перевірити гіпотезу .

Оскільки виправлені вибіркові дисперсії є незміщенними оцінками генеральних дисперсій, тобто

, , (6.8)

то нульову гіпотезу можна записати

.

Така задача ставиться тому, що як правило, виправлені дисперсії є різні. Тому виникає питання суттєво чи ні відрізняються виправлені дисперсії.

Для перевірки гіпотези порібно знати таку функцію статистичних оцінок дисперсій, розподіл якої не залежав би від будь-яких невідомих параметрів. Таку умову задовольняє розподіл випадкової величини – розподіл Фішера-Снедекора.

Розподіл Фішера залежить тільки від числа ступенів вільності і для вибірок об’ємів і . Графік її щільності має вигляд, зображений на рис.6.4 (див. стор. 420).

Отже, за критерій первірки нульової гіпотези беруть величину

. (6.9)

яка розподілена за знаконом Фішера-Снедекора з і ступенями вільності.

Критична область критерію визначається альтернативною гіпотезою.

а) Альтернативна гіпотеза ,

Правосторонню критичну область для заданого рівняння значущості будують за умови ( рис. 6.5, стор.420)

. (6.10)

Рис. 6.4 Рис. 6.5

Межу критичної області знаходять з таблиці критичних точок розподілу Фішера-Снедекора за рівнем значущості і числом ступенів вільності і . Тоді критична область визначається нерівністю , а область прийому нульової гіпотези – нерівністю .

б). Альтернативна гіпотеза .

Двосторонню критичну область ( рис.6.5 ) будують з умов

. (6.11)

Оскільки найбільша потужність критерію досягається тоді, коли

. (6.12)

то межі і критичної області знаходять з умов (6.12). При цьому праву критичну точку знаходять безпосередньо із таблиці розподілу Фішера-Снедекора ( таблиця № 9 додатку 2 ) за рівнем значущості і числами ступенів вільності і . Ліву критичну точку знайти безпосередньо за таблицею розподілу Фішера-Снедекора не можна. Але виявляється, що достатньо знайти праву критичну точку , тоді не тільки ймовірність , але і ймовірність . Отже, для альтернативної гіпотези досить знайти тільки критичну точку .