3.3. Оптимизация налогообложения предприятий

Пусть – налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда суммарный налог с  единиц продукции составит . В этом случае функция прибыли будет иметь вид . Требуется выяснить, каким должен быть налог , чтобы величина суммарного налога со всей продукции была наибольшей.

Условие максимума прибыли имеет вид . Решая это уравнение, находим (то есть оптимальный объем производства зависит от налога ). Подставим в величину суммарного налога, получим и отсюда найдем оптимальное значение налога .

Пример 3. Пусть , . Выяснить, каким должен быть налог , чтобы величина суммарного налога со всей продукции была наибольшей, найти оптимальный объем производства и максимальную прибыль. Сравнить полученный результат с результатом отсутствия налогообложения.

Решение. Функция прибыли имеет вид . Необходимое условие максимума прибыли: . Отсюда . Проверим достаточное условие экстремума: при любом значении . Следовательно, точка является точкой максимума при условии .

Подставим полученное значение объема производства в величину суммарного налога, получим . Необходимое условие максимума суммарного налога или . Тогда . Так как , то является точкой максимума. Тогда максимальный суммарный налог , оптимальный объем производства , а максимальная прибыль .

При отсутствии налогообложения ( ) оптимальный объем производства , а максимальная прибыль . Таким образом, уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит к увеличению прибыли от ее реализации.

Теоретический материал: [1, гл. 7, 8], [2, гл. 4, 5], [3, гл. 5, 6], [4, темы 11, 12], [5], [6], [7, , гл. 3, 4, 6], [8], [11, гл. 4, 5], [14], [19, гл. 4].

Тема 4. Моделирование распределения доходов среди групп населения

Необходимые математические понятия: функция, непрерывная функция, основные элементарные функции; первообразная и неопределенный интеграл, таблица первообразных основных элементарных функций, определенный интеграл, геометрический смысл определенного интеграла, способы вычисления интегралов.

4.1. Понятие о распределении доходов и кривой Лоренца

Доходом называют превышение стоимости произведенного продукта над затратами на его производство, а также долю каждого класса, социальной группы или определенного индивидуума в произведенном продукте, присвоенную ими. Формирование доходов населения – одна из главных задач социальной политики государства. Однако при наличии общих принципов формирования доходов сохраняются условия неравенства получаемых доходов и, как следствие, уровней жизни различных слоев и групп населения.

В экономической теории зависимость процента доходов ( ) от процента имеющего их населения ( ) называют кривой Лоренца. Она является показателем, отражающим неравномерность распределения совокупного дохода общества между различными группами населения.

Р авномерное распределение доходов (абсолютное равенство) характеризуется тем, что 20 % населения получают 20 % от совокупного дохода, 40 % населения – 40 % от совокупного дохода. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца имеет вид прямой (идеальная кривая Лоренца) и может быть задана функцией на отрезке (рис. 4.1, за 1 приняты 100 % доходов и 100 % населения).

Абсолютное неравенство означает, что и 20 %, и 40 %, и т.д. населения не получают никакого дохода, за исключением одного человека, который получает 100 % совокупного дохода. Ломаная ОВА на рис. 4.1 – кривая Лоренца при абсолютном неравенстве.

Реальное распределение совокупного дохода представлено кривой (реальная кривая Лоренца). Чем дальше кривая от прямой , тем больше неравенство в распределении доходов в данной экономике на данный момент времени.

Доказано (см., например, [15]), что реальная кривая Лоренца является вогнутой возрастающей функцией , заданной на отрезке (за 1 приняты 100 % доходов и 100 % населения).