Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

Факультет «Фундаментальные науки»

Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика»

Б.Т. Добрица, и.В. Дубограй, о.В. Скуднева. Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля.

методическое пособие к практическим занятиям.

Москва

Занятие 9. Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, основные свойства, вычисление с помощью определенного интеграла. Формулировка теоремы существования криволинейного интеграла первого рода, независимость вычисления от направления обхода кривой. Физические приложения криволинейного интеграла первого рода: масса кривой, статистические моменты кривой относительно осей и ; моменты инерции кривой. ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.2, ОЛ-4 гл.3 § 9

Практика: ОЛ-6 №№ 2293, 2295, 2296, 2299, 2306, 2307 или ОЛ-5 №№

1.Определение криволинейного интеграла 1-ого рода.

Р

ок 9. 1

Рисунок 9.2

Рисунок 9.3

ассмотрим кусочно-гладкую кривую , в каждой точке М которой задана функция . Разобьём эту кривую на малых частей точками так, чтобы в точках каждой части значение функции можно было считать постоянным, а сама часть могла быть принята за отрезок прямой (см. рис. 9.1). Пусть - длина i-ой части разбиения. На каждой части выберем произвольную точку и

составим интегральную сумму . Определение. Криволинейным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы (если он существует) при неограниченном увеличении числа разбиений и стремлении длины каждой части к нулю.

. (9.1)

2.Свойства криволинейного интеграла 1 рода.

1.Независимость значения криволинейного интеграла первого рода от направления движения точки по кривой:

(9.2)

2.Свойство линейность криволинейного интеграла:

(9.3)

3. Свойство аддитивности:

(9.4)

4. Свойство монотонности. Если на кривой АВ, то (9.5)

5. Теорема о среднем. Если непрерывна на кривой АВ, то существует число ζ такое, что (9.6)

6. Криволинейный интеграл от единичной функции равен длине кривой:

(9.7)

3.Способы вычисления криволинейного интеграла 1 рода.

1.Если кривая задана в пространстве как пересечение двух поверхностей , то можно выразить из системы уравнений этих поверхностей две переменные через третью, например, . Тогда длина отрезка прямой и

. (9.8)

2.Если кривая задана параметрически уравнениями: , то длина отрезка прямой , и

(9.9)

3.Если задана плоская кривая и в каждой её точке определена функция , то формулы (9.8) и (9.9) упрощаются: , (9.8а) . (9.9а)

4.Если на плоскости кривая задана в полярной системе уравнением , то

(9.10)

Примечание. а) Если контур интегрирования – отрезок прямой, соединяющий точки и , то уравнения этого контура имеют вид . б) Если контуром интегрирования является эллипс , то удобно перейти к параметрическому заданию этой кривой, где (частный случай – окружность с ).