Задания для самостоятельного решения

В задачах 1-20 выяснить, образуют ли базис векторы Если образуют, то разложить вектор по этому базису:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

В задачах 21-40 задана матрица А линейного оператора в некотором базисе . Найти матрицу этого оператора в базисе .

21. А=

22. А=

23. А=

24. А=

25. А=

26. А=

27. А=

28. А=

29. А=

30. А=

31. А=

32. А=

33. А=

34. А=

35. А=

36. А=

37. А=

38. А=

39. А=

40. А=

В задачах 41-60 найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей а. Привести матрицу а к диагональному виду:

41. А= 42. А= 43. А=

44. А= 45. А= 46. А=

47. А= 48. А= 49. А=

50. А= 51. А= 52. А=

53. А= 54. А= 55. А=

56. А= 57. А= 58. А=

59. А= 60. А=

В задачах 61-80 задана квадратичная форма :

1. Найти матрицу а квадратичной формы в каноническом базисе (в матричном виде);

2. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа (к сумме квадратов соответствующих координат выделением полных квадратов);

3. Доказать, что квадратичная форма а положительно или отрицательно определенная.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

2.5. Аналитическая геометрия на плоскости.

Литература: [1] гл.4; [2] гл.7-8; [3] гл.3; [4] гл.3; [5] гл.1; [6] гл.4.

Разберите решение задачи 10.

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1,5); В(-4,0); С(4,-4).

1. составить уравнения медианы АD, высоты АЕ;

2. найти длину высоты АЕ и медианы АD;

3. определить угол между высотой АЕ и медианой АD;

4. составить уравнение средней линии DМ параллельной стороне АС;

5. составить уравнение окружности, проходящей через точки А, В, С;

6. составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение.

1. У равнение медианы АD определяем по формуле

Где точка D делит отрезок ВС пополам.

Координаты точки D:

, D(0; -2)

Тогда, или (АD)

Для составления уравнения высоты АЕ воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых ВС и АЕ: .

Угловой коэффициент прямой ВС найдем по координатам точек В и С:

тогда .

Составим уравнение высоты АЕ, используя уравнение прямой, проходящей через точку А в заданном направлении:

или (АЕ)

2. Длину высоты АЕ определяем, используя формулу для определения расстояния точки А (1;5) от прямой ВС:

где (х_о; у_о) – координаты точки А (1;5);

А,В,С – коэффициенты уравнения прямой ВС.

Угловой коэффициент прямой ВС К_вс = .

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку в заданном направлении:

у-у_в = К_вс (х-х_в)

у-0 = (х+4); 2у=-х-4 или х+2у+4=0.

Отсюда А=1; В=2; С=4.

.

Длину медианы АD определим, используя формулу для определения расстояния между двумя точками А и D:

.

3. Угол между высотой АЕ и медианой АD находим, используя формулу

,

где К₁ – угловой коэффициент прямой АЕ, К₁=2;

К₂ – угловой коэффициент прямой АD находим из уравнения 7х-у-2=0, разрешив его относительно у: у=7х-2, отсюда К₂=7.

.

4. Средняя линия DМ треугольника АВС проходит через середины сторон ВС и АВ, т.е. проходит через точки D и М:

М .

Уравнение средней линии запишем используя уравнение прямой, проходящей через две точки:

; ;

9х+3у+6=0 или 3х+у+2=0 (DМ).

4. Уравнение окружности радиуса R c центром в точке Q (х_о;у_о) имеет вид: (х-х_о)²+(у-у_о)² = R² . так как точки А,В и С лежат на окружности, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению:

Из первого уравнения вычтем второе уравнение, затем из первого уравнения вычтем третье уравнение. Из полученных уравнений составим систему уравнений:

или

Решаем полученную систему уравнений по формулам Крамера:

;

Тогда . Q (1;0).

Найдем радиус окружности, подставив найденные значения х_о=1 и у_о=0 в любое из трех уравнений:

(1-1)²+(5-0)²=R²,

Отсюда R² =25, R=5.

Уравнение окружности (х-1)²+у² =25.

4. Для составления системы линейных неравенств, определяющих треугольник АВС, составим уравнения сторон треугольника АВС.

Уравнение стороны АВ определим по формуле:

, или , .

Уравнение стороны ВС определим по формуле:

, , , , .

Уравнение стороны АС определим по формуле:

, , , , .

Областью решений неравенства является полуплоскость. Областью решений системы неравенств является треугольник, ограниченный полуплоскостями. Для составления неравенства выбираем произвольную точку, лежащую в какой-либо из полуплоскостей. Лучше выбрать точку начала координат (0;0). Подставляем (0;0) в первое уравнение , получим , т.е. получаем неравенство . Аналогично получим и

.

Таким образом, система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:

На рис.1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображены треугольник АВС, медиана АD, высота АЕ, биссектриса АF и окружность, проходящая через точки А, В, С и система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Рис. 1. Графическое пояснение к задаче 10

Разберите решение задачи 11.

Построить кривую, заданную уравнением х² + 2х + 6у – 2 =0,приведя его к каноническому виду.

Решение:

Преобразуем уравнение: ( х² + 2х) = -6у + 2; ( х² + 2х + 1) = -6у + 2 + 1;

( х + 1)² = -6у + 3; ( х+ 1)² = -6( у – 0,5).

Получено уравнение параболы с вершиной в точке О^/ ( -1; 0,5) и осью симметрии, параллельной оси Оу. Перенося начало координат в точку О^/, получим в системе координат х^/О^/у^/ уравнение

( х^/)² = -6(у^/),

где параметр р определяется из условия 2р =6, или р =3.

Парабола симметрична относительно оси О^/у^/ или относительно прямой

х= -1. Фокус параболы находится на ее оси и отстоит от вершины на р/2. Поскольку у^/<0, то ветви параболы направлены вниз и фокус F лежит на

р/2 = 1,5 ниже вершины, то есть его координаты F(-1, -1).Директрисой параболы является прямая, перпендикулярная ее оси и находящаяся на расстоянии р/2 = 1,5 от вершины, причем фокус и директриса расположены по разные стороны от вершины. Учитывая это можно записать уравнение директрисы у = 0,5 + 1, 5, или у = 2. Кривая приведена на рис.2.

Рис.2. Графическое пояснение к задаче 11