4.6.3. Определение ожидаемой ошибки в генеральной совокупности при применении выборочных статистических процедур

При применении статистических процедур определение ожидаемой ошибки в генеральной совокупности может осуществляться различными методами, разработанными в известной литературе по теории аудита [15]:

1. Метод, основанный на гипотезе нормального распределения случайной величины – размера ошибок, искажений в генеральной совокупности. На справедливость подобной гипотезы указывает ряд литературных источников [4, 21]. Это подтверждается и результатами статистических исследований.

Введём следующие обозначения: N (в натуральных единицах) – объем генеральной совокупности; n (также в натуральных единицах) – объем статистической выборки; k_i (руб.) – размер ошибки в i-ом элементе выборки (случайная величина); К (руб.) – ожидаемая ошибка в генеральной совокупности; (руб.) – суммарная (общая) ошибка в выборке.

Известным образом найдем генеральную среднюю

= К : N (руб.) (4.5)

и выборочную среднюю

(руб.). (4.6)

Из математической статистики (теорема об оценке генеральной средней) известно, что генеральная средняя может быть оценена по выборочной средней

= (руб.).

Подставляя вместо генеральной средней и выборочной средней их значения (4.5) и (4.6), получаем

K = (N/n) * k (руб.). (4.7)

Пример. Аудитор проверяет авансовые отчеты. Объем генеральной совокупности N=850 авансовых отчетов. Объем выборки n=50 авансовых отчетов. Ошибки в трех авансовых отчетах, попавших в выборку: руб., руб., руб.

Суммарная (общая) ошибка в выборке

k = k₁ + k₂ + k₃ = 208 + 564 + 930 = 1 702 руб.

Ожидаемая ошибка в генеральной совокупности составит

K =(N/n)* k = (850/50) * 1 702 = 28 934 руб.

Пример. Аудитор проверяет счета-фактуры, полученные от поставщиков. Объем генеральной совокупности N=2500 счетов-фактур. Объем выборки n = 100 счетов- фактур. Аудитор обнаружил в выборке два неправильно заполненных счета-фактуры, по которым НДС в суммах 500 руб. и 1500 руб. необоснованно предъявлен к вычету из бюджета. Ошибки в выборке, таким образом, составляют k₁ = 500 руб., k₂= 1500 руб. Определим ожидаемую ошибку генеральной совокупности K._.

Суммарная (общая) ошибка в выборке

k = k₁ + k₂ = 500 + 1 500 = 2 000 руб.

Ожидаемая ошибка в генеральной совокупности

K =(N/n)* k = (2500/100)* 2 000 = 50 000 руб.

2. Метод, основанный на гипотезе биномиального распределения случайной величины – количества ошибок в выборке.

Введем следующие обозначения: N (в натуральных единицах) – объем генеральной совокупности; n (также в натуральных единицах) – объем статистической выборки; m (в натуральных единицах) – количество ошибок в выборке (случайная величина); М (в натуральных единицах) – ожидаемая ошибка (ожидаемое количество ошибок) в генеральной совокупности.

Из теории вероятности известно, что в рассматриваемом случае случайная величина m распределена по биномиальному закону, который может быть описан формулой Пуассона:

, (4.8)

где p=M/N; R – вероятность появления случайной величины m; е=2,718 - основание натурального логарифма.

Анализ формулы Пуассона показывает, что наиболее вероятное значение величины М для данного значения m определяется из выражения

M = (N/n) * m. (4.9)

Для рассмотрения этого метода на примерах воспользуемся условиями предыдущих задач.

Пример. Аудитор проверяет авансовые отчеты. Объем генеральной совокупности N= 1 050 авансовых отчетов. Объем выборки n=50 авансовых отчетов. Количество ошибок (авансовых отчетов с недостающими чеками) в выборке m = 3. Определим ожидаемую ошибку в генеральной совокупности М._. Ожидаемая ошибка в генеральной совокупности

M = (N/n) * m = (1 050/50) * 3 = 63 авансовых отчета.

Пример. Аудитор проверяет счета-фактуры, полученные от поставщиков. Объем генеральной совокупности N=2500 счетов-фактур. Объем выборки n = 100 счетов- фактур. Количество ошибок (неправильно заполненных счетов-фактур) в выборке m=2. Определим ожидаемую ошибку генеральной совокупности М._.

Ожидаемая ошибка генеральной совокупности

M = (N/n) * m = (2500/100) * 2 = 50 счетов-фактур.

Метод, основанный на биномиальном распределении количества ошибок в выборке, безусловно, можно применять в тех случаях, когда аудитора интересует количество документов в генеральной совокупности, не соответствующих какому-либо признаку. Подобные процедуры, как было указано ранее, называют процедурой «на соответствие», когда аудитор, например, оценивает уровень риска существенного искажения. При проверках же «по существу» аудитора интересует не количество ошибочных документов в генеральной совокупности, а денежная сумма ошибок.

С этой целью рассмотренный выше метод может быть применен только в том случае, когда ошибочной является вся учетная сумма, проведенная по документу, что обычно имеет место при формальных ошибках, неправильном или безосновательном отражении операций, отражении незаконных операций и др. В других случаях (ошибки арифметические, пересчетные, в оценке, в расчетах и др.) ошибочная сумма обычно составляет какую-то часть учетной стоимости по документу, или даже может превышать ее.

Если же денежная сумма ошибки будет совпадать с денежной суммой проверяемого документа, то стоимостная оценка ожидаемой ошибки в генеральной совокупности может быть получена из средней стоимости документа = J/N, где J (руб.) – общая сумма, проведенная по документам, составляющим генеральную совокупность:

К=М* =(N/n) * m * (руб.). (4.10)

Таким образом, из двух рассмотренных выше примеров указанный метод может быть применен во втором случае, при проверке счетов-фактур, поскольку ошибка в обязательных реквизитах счета-фактуры приводит к ошибочности всей суммы НДС, предъявленной к вычету из бюджета, по такому счету-фактуре.

Пример. Из условий предыдущей задачи известно, что ожидаемая ошибка генеральной совокупности определена аудитором в размере М = 50 счетов-фактур. Пусть общая стоимость генеральной совокупности счетов-фактур (в части НДС) составляет J = 2 300 000 руб.

Средняя стоимость документа (в части НДС)

= J/N = 2 300 000/2 500 = 920 руб.

Значение ожидаемой ошибки в рублях

К = М * = 50 * 920 = 46 000 руб.

3. «Монетарный» метод. Он также основан на биномиальном распределении количества ошибок в выборке и состоит в следующем.

Элементы генеральной совокупности в этом методе имеют стоимостное выражение – рубли. Выборка при этом будет состоять из «n» рублей (на самом деле выборка будет состоять из «n» документов, но мы условно считаем, что элементом выборки является не документ, а каждый рубль, входящий в стоимость попавшего в выборку документа⁴). Пусть в выборке, состоящей из «n» рублей (n «логических элементов»), m «логических элементов» содержат ошибочные суммы. Пусть — стоимость i-го «логического элемента», — ошибочная сумма в i-м «логическом элементе». Тогда  — относительная ошибка в i-м «логическом элементе». Но величину можно трактовать и таким образом:  — ошибочная сумма (в копейках) в i-м рубле, входящем в выборочную совокупность. Тогда, оценив количество «ошибочных» рублей m в генеральной совокупности (то есть, количество элементов, содержащих ошибки) и определив среднюю величину относительной ошибки , можно определить ожидаемую ошибку генеральной совокупности:

К = (N/n) * m * (руб.), (4.11)

где N – объем генеральной совокупности (в рублях).

Пример. Аудитор проверяет авансовые отчеты (1 050 отчетов). Объем генеральной совокупности — N = 2 682 000 руб. (сумма, проведенная по всем авансовым отчетам). Объем выборки n = 50 руб. (содержатся в пятидесяти «логических элементах» — авансовых отчетах). Обнаруженные в выборке ошибки:

№ п/п	Стоимость «логического элемента», руб.	Ошибочная сумма, руб.	Относительная ошибка xi (3: 2)
1 2 3	3 470 2 820 3 720	208 564 930	0,06 0,20 0,25

Среднее значение относительной ошибки

.

Ожидаемая ошибка генеральной совокупности

К = (N/n) * m * = (2 682 000/50) * 3 * 0,17 = 27 356 руб.

В случае, когда денежная сумма ошибки совпадает с денежной суммой проверяемого документа, результат «монетарного» метода идентичен результату предыдущего метода.

Пример. Аудитор проверяет счета-фактуры, полученные от поставщиков. Согласно условиям предыдущей задачи известно, что объем генеральной совокупности N = 2 300 000 руб., объем выборки n= 100 руб., количество ошибок в выборке m= 2. Поскольку = , то относительные ошибки и их среднее значение равны единице.

Ожидаемая ошибка генеральной совокупности

К = (N/n) * m * = (2 300 000/100) * 2 * 1 = 46 000 руб.