2.5 Экономическая интерпретация результата решения

Вся экономическая интерпретация, весь экономический анализ может быть проведен на основании внимательного рассмотрения «начинки» последней симплексной таблицы.

1. Максимальная прибыль составляет 35940 тыс. руб., это мы уже установили.

За счет чего получена эта прибыль ? Количество производимых изделий обозначено у нас х₁, х₂, х₃, х₄. В последней симплексной таблице х₁=900, х₃=430, х₇=700. Тем самым в оптимальный план производства вошли 2 вида изделий из 4 возможных , это изделия В₁- 900 изделий, и В₃-430 изделий.

Изделия В₂ и В₄ по оптимальному плану производиться не должны (поскольку их нет в списке базисных переменных в столбце П₂, значит они –свободные, значит они равны 0).

Проверяем, какую прибыль должно дать производство изделий В₁ и В₃:

17 *900+ 48*430=15300+20640=35940=F_max,

как и должно быть. Для удобства дальнейшего анализа воспроизведем здесь таблицу условий задачи еще раз:

Таблица 3.0

Виды ресурсов	Расход ресурсов на единицу продукции				Наличие ресурсов
	В1	В2	В3	В4
А1	1	6	2	4	1760 (чел.-час.)
А2	0	5	6	1	2580 (ст.-час.)
А3	2	4	0	3	2500 (кг)
Прибыль от реализации единицы продукции (тыс.руб.)	17	80	48	33

2. Кроме х₁ и х₃ в число базисных попала и переменная х₇. Но как мы установили ранее, значение дополнительной переменной означает излишек ресурса соответствующего вида, в данном случае третьего (х₇ введена в качестве дополнительной именно в третье неравенство). х₇=700 означает, что ресурс третьего вида (в условиях нашей задачи это сырье) при организации производства по оптимальному плану недорасходуется, остается в избытке в количестве 700 кг.

Проверяем: расход ресурса А₃ на план производства составит

12*900+ 0*430=1800,

недорасход х₇=2500-1800=700

Здесь полезно обратить внимание на экономическую сторону вопроса, на различие между «изделиями» и «ресурсами». Хотя это различие очевидно, не всегда, особенно при первом изучении предмета, в нем отдают себе отчет.

«Изделия» - это то, что производится, а «ресурсы» – это то, из чего производятся изделия. Например, автомобильные шины изготовляются из резины и металлического каркаса. На шинном заводе - шины – это изделия, а резина и металл – это ресурсы. В цехе, производящем резину, резина – это изделие, а каучук, сажа и сера, из которых резина изготовляется, – это ресурсы. В любом производстве в число используемых ресурсов входят труд и энергия, но конкретный учет или неучет этих ресурсов зависит от постановки задачи.

Продолжим анализ результатов.

Дополнительные переменные х₅ и х₆ в оптимальный план в качестве базисных не вошли. Это значит, что они –свободные, равны 0, и тем самым излишка ресурсов I и II вида нет, эти ресурсы (А₁ и А₂) по оптимальному плану в процессе производства расходуются полностью (в условиях нашей задачи – это трудовые ресурсы – человеко-часы и ресурсы оборудования – станко-часы.) .

Проверяем: 1*900+ 2*430=1760, 0*900+ 6*430=2580,

действительно эти ресурсы истрачены полностью.

Ресурсы, которые при оптимальном плане расходуются полностью, называют «дефицитными», или «узкими местами производства».

«Дефицит» здесь понимается не в том смысле, что их «не хватает» для чего-то, а в том, что нет никакого избытка, никакого запаса этих ресурсов.

«Узкие места» - если бы имелся избыток и этих ресурсов, то ничего не мешало бы увеличить производство и тем самым увеличить ту прибыль, которая сейчас является максимальной. Именно эти ресурсы сдерживают, ограничивают производство, являются его узкими местами.

Но пока что, хотя третий ресурс (сырье) имеется в избытке, свободных ресурсов труда (А₁) и оборудования (А₂) нет, чтобы произвести хотя бы одно дополнительное изделие. А перераспределение ресурсов между производимыми изделиями увеличить прибыль не может - это следует из того, что тот план, который мы получили, является в этом смысле наилучшим, оптимальным.

3. Очень полезный смысл имеют двойственные оценки.

Если отрицательная двойственная оценка показывает возможность увеличения прибыли (в расчете на 1 изделие, вводимое в план), то положительная показывает наоборот, на снижение прибыли в расчет на 1 изделие.

Занумеруем двойственные оценки по номерам столбцов, в которых они находятся: d₂=33.667 d₄= 37.333 d₅=17 d₆=2.333.

Изделия В₂ и В₄ в оптимальный план не входят. Но если включить в план одно изделие В₂, то прибыль снизится на 33.667 тыс.руб., а В₄ - на 37.333 тыс.руб. (все, что связано с прибылью измеряется в тыс.руб.). План, конечно, при этом перестанет быть оптимальным.

Обратим внимание на то, что сами по себе изделия В₂ и В₄ не являются убыточными, каждое из них дает положительную прибыль. Более того, изделие В₂ вообще самое прибыльное, дает наибольшую прибыль среди всех 4 видов изделий. Почему же они не попали в оптимальный план, и почему их включение в план производства снижает прибыль ?

Дело в том, что изделие В₂, хотя и является самым прибыльным, требует большого расхода ресурсов, и самое большее, что можно сделать, это производить 1760/6=293 изделия В₂, не производя никаких других изделий, что даст 80*293=23440 тыс.руб. прибыли и составляет лишь 2/3 от найденного нами максимума. А симплексный метод показал, что включение этих изделий в план производства вообще неоправданно ни в каких количествах.

При этом если все-таки потребуется (в силу каких-то соображений, уже не связанных с прибылью) включить в план такие изделия, то суммарная прибыль снизится на d₂=33.667 тыс. руб. в расчете на каждое вводимое в план изделие В₂ (по сравнению с максимальной).

Остается все-таки логически не совсем ясным, как это прибыль 80 тыс. руб. превращается в «убыток»=33.667 тыс. руб. Казалось бы, включили в план 1 изделие – вот и дополнительная прибыль 80 тыс. руб.

Дело в том что просто «включить» изделие В₂ в план производства –невозможно, его «не из чего делать», ресурсы А₁ и А₂ исчерпаны полностью. Можно производить В₂ только за счет ранее включенных в план изделий В₁ и В₃, уменьшив их производство и высвободив дефицитные ресурсы для В₂.

На сколько потребуется сократить производство, сколько ресурсов при этом высвободится – это «вопрос» (хотя и решаемый), но двойственная оценка – это такой замечательный показатель, который сразу дает ответ, какой эффект будет от такой замены (причем при условии, что включив В₂ мы организуем производство снова по оптимальному плану уже с учетом этого требования). За счет исключения какого-то количества изделий В₁ и В₃ прибыль уменьшится, за счет включения 1 изделия В₂ прибыль увеличится, а общий баланс станет отрицательным, равным -33.667 тыс. руб.=-d₂.

Итак, двойственные оценки показывают, что включение в план 1 изделия В₂ снизит прибыль на d₂=33.667 тыс. руб. , а изделия В₄ – на d₄=37.333 тыс.руб.

4. Ненулевые оценки имеют также столбцы Х₅ и Х₆:

d₅=17, d₆=2.333

Математический смысл этих двойственных оценок тот же самый: они показывают, на сколько уменьшится значение целевой функции, если соответствующий «х» сделать равным 1. При х₅=1 целевая функция (прибыль) уменьшится на 17 (тыс.руб.), а при х₆=1 – на 2.333 (тыс.руб.).

Сейчас, в оптимальном плане, х₅=х₆=0 (свободные переменные).

Что значит «сделать х₅=1»? Значение х₅ показывает, на сколько левая часть первого неравенства меньше правой – на 0. Если «сделать х₅=1», то левая часть станет меньше правой на 1. То есть фактический расход ресурса станет меньше имеющегося его количества на 1. Это эквивалентно уменьшению расходуемого количества ресурса на 1.

Таким образом, двойственная оценка дополнительной переменной показывает, на сколько снизится прибыль при уменьшении соответствующего ресурса на 1:

при уменьшении ресурса А₁ на 1 (с 1760 до 1759)

прибыль уменьшится на 17 тыс.руб.,

при уменьшении ресурса А₂ на 1 (с 2580 до 2579)

прибыль уменьшится на 2.333 тыс.руб.

И наоборот, при увеличении ресурса А₁ на 1 (с 1760 до 1761)

прибыль увеличится на 17 тыс.руб.,

при увеличении ресурса А₂ на 1 (с 2580 до 2581)

прибыль увеличится на 2.333 тыс.руб.

Весьма характерно, что указанные изменения прибыли будут достигнуты при построении новых оптимальных планов, которые еще не известны, однако двойственные оценки «с опережением» определяют экономический эффект от изменений ресурсов.

Непосредственное вычисление двойственных оценок

(на примере двойственной оценки столбца Х₂)

			80	80
С0	П2	X0	X2	С0 X2
17	х1	900	4.333	73.667
48	х3	430	0.833	40.000
0	х7	700	-4.667	0
			Сумма	113.667
				-80
			33.667	d2=33.667

Правило: столбец С₀ умножается на столбец Х₂ (попарно), произведения складываются, и вычитается число из верхней строки

17*4.33333 = 73,667

48*0.83333 = 40,000

0*(-4.667)= 0,000

Действительно, строки симплексной таблицы означают, что

х₁=900-4.333х₂+...

х₃=430-0.833х₂+...

х₇=700+4.667х₂+...

Слагаемые, отображенные многоточием, переменную х₂ уже не содержат, поэтому можно посчитать коэффициент при х₂ в выражении целевой функции.

F=17x₁+80x₂+ 48x₃+ 33x₄=

17(900-4.333х₂)+80x₂+48(430-0.833х₂)+0(700+4.667х₂)+...(далее слагаемых с х₂ нет)

Коэффициент при х₂ при этом составит

17(-4.333)+80+48(-0.833х₂)+0(4.667х₂), то есть как раз d₂ с точностью до знака.

Точно такие же соотношения справедливы и для всех остальных двойственных оценок.

Тема № 3. Сокращенные методы перебора (динамическое программирование

Задача оптимального распределения инвестиций»

В таблице 5.1 приведены значения (известного) экономического эффекта от вложений различных объемов инвестиций в каждую из четырех отраслей. Требуется распределить сумму инвестиций 900 млрд. руб. между четырьмя отраслями таким образом, чтобы суммарный экономический эффект был максимальным.

Таблица 15.1

Экономический эффект от вложений различных объемов инвестиций

в отдельные отрасли

Объем инвестиций (млрд.руб.)	x	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900
Эк. эффект 1-й отрасли	f1(x)	0	7	12	15	15	18	25	28	45	50
Эк. эффект 2-й отрасли	f2(x)	0	5	8	15	20	28	35	37	39	40
Эк. эффект 3-й отрасли	f3(x)	0	12	15	18	22	25	27	30	32	34
Эк. эффект 4-й отрасли	f4(x)	0	18	22	25	27	31	40	42	44	48

Специфика метода заключается в пошаговом применении оптимизации.

Сначала задача решается только для двух отраслей, но для всех значений инвестиций от 0 до 900.

Например, какой эффект даст распределение суммы 500 млрд.руб. между первыми двумя отраслями ?

Если инвестиции распределить в соотношении 0+500,

то эффект составит 28+0=28 млрд.руб.

Если инвестиции распределить в соотношении 100+400,

то эффект составит 7+20=27 млрд.руб.

Если инвестиции распределить в соотношении 200+300,

то эффект составит 12+15=27 млрд.руб.

Если инвестиции распределить в соотношении 300+200,

то эффект составит 15+ 8=23 млрд.руб.

Если инвестиции распределить в соотношении 400+100,

то эффект составит 15+ 5=20 млрд.руб.

Если инвестиции распределить в соотношении 500+0,

то эффект составит 18+0=18 млрд.руб.

Таким образом, наилучший эффект от распределения 500 млрд. составляет 28 млрд.руб., если все 500 млрд. вложить во 2-ю отрасль, а во первую не вкладывать ничего.

При реализации метода удобно вычисление эффекта производить в таблице «шахматного типа» (см. табл. 15.2). В этой таблице рассчитанные значения (28, 27, 27, 23, 20, 18) находятся на диагонали (выделенной пунктирной линией), соответствующей значению суммарных инвестиций 500. При заполнении этой таблицы не обязательно двигаться по указанным диагоналям, а можно перебирать все комбинации в сумме f₁(x₁)+f₂(x₂) двигаясь по клеткам таблицы в любом порядке, например, по строкам или по столбцам.

Вычислив все возможные комбинации слагаемых для всех инвестиций в диапазоне 0-900 с шагом 100, выбираем затем наилучший результат для каждого суммарного вложения, то есть находим максимум на каждой диагонали. Например для уже упомянутого суммарного вложения 500 максимум на соответствующей диагонали равен 28. Для суммарного вложения 700 млрд. руб. максимальный эффект составляет 42 млрд. руб. Максимальные диагональные значения отмечены в таблице 15.2 звездочками.

Таблица 15.2

Различные способы распределения инвестиций

между первыми двумя отраслями (без учета третьей и четвертой)

Отрасль 1 О трасль 2	х1	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900
х2	f2 f1	0	7	12	15	15	18	25	28	45	50
0	0	0	7*	12*	15	15	18	25	28	45	50*
100	5	5	12*	17*	20	20	23	30	33	50*
200	8	8	15	20	23	23	26	33	36
300	15	15	22*	27	30	30	33	40
400	20	20	27	32	35	35	38
500	28	28*	35*	40	43	43
600	35	35*	42*	47*	50*
700	37	37	44	49
800	39	39	46
900	40	40

Тем самым на первом шаге применения метода получены наилучшие способы для каждого возможного значения инвестиций в сумме по первым двум отраслям (отмечены звездочками). Для дальнейших действий удобно этот результат оформить в виде вспомогательной таблицы 15.3, в которой наряду с наилучшими значениям экономического эффекта (g₂(x)) указаны и значения инвестиций в одну из отраслей (а именно во вторую), при которых каждый наилучший результат получен.

Так, для инвестиций 800 млрд. наилучший результат составляет 47 млрд. и складывается, как видно из табл. 15.2, из соответствующих эффектов 35+12, получаемых при вложении в 1-ю отрасль 200 млрд., а во вторую – 600. В таблице 5.3 фигурирует второе из этих чисел (х₂=600 при х=800 и g₂(x)=47). Для инвестиций 900 млрд. наилучших результатов, равных 50, сразу 3 (при х₂=0, 100 и 600). Все они приведены в табл. 5.3.

Таблица 15.3

Наилучшие варианты распределения инвестиций для первых двух отраслей

Объем инвестиций	x	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900
в том числе объем инвестиций, направляемых отрасль №2	х2	0	0	0/100	100	300	500	500/ 600	600	600	0/100/600
Наилучший суммарный эффект при вложениях в первые 2 отрасли	g2(x)	0	7	12	17	22	28	35	42	47	50

Итак, первый шаг закончился определением наилучших вариантов инвестирования для первых двух отраслей.

Соответствующий наилучший экономический эффект обозначен g₂(x) и определен для всех значений инвестиций х в диапазоне от 0 до 900.

Шаг № 2: определяем наилучшие варианты для трех отраслей. Если какую либо сумму (например, 200 млрд.) вложить в третью отрасль, то то, что осталось, следует наилучшим образом вложить в первые две отрасли. А эти варианты мы уже получили на шаге 1.

Например (см. табл. 15.4), распределяя сумму 500 млрд.руб. (пунктирная диагональ) между тремя отраслями, дадим из них третьей отрасли 200 (х₃=200 в столбце х₃). Тогда на долю первых двух останется 500-200=300, а наилучший результат для этой суммы уже известен - см. табл.15.3. Он составляет составляет 17 млрд.руб.

Складывая этот наилучший эффект с эффектом 15 от вложения 200 млрд. в третью отрасль, получаем значение 17+15=32 для эффекта от вложений в три отрасли.

Дальнейший расчет осуществляется в таблице15.4, имеющей такой же вид, как и 15.2, но вместо столбца f₂(x) теперь фигурирует f₃(x) – эффект от инвестиций в третью отрасль, а вместо f₁(x) - g₂(x)=наилучший эффект от вложений в первые 2 отрасли .

Каждая диагональ соответствует различным способам распределения одного и того же объема инвестиций между отраслью № 3 с одной стороны, и отраслями №1 и №2 «в сумме» – с другой. Например (для пунктирной диагонали):

(500=500+0=400+100=300+200=200+300=100+400=0+500)

Первое слагаемое обозначено в таблице 5.4 как х₃ (первый столбец), а второй – просто х (первая трока).

Для удобства расчетов строка g₂(x)из таблицы 15.3 продублирована в шапке таблицы 15.4 . Применяемое соображение о выборе наилучшего варианта из предыдущего расчета называют «рекуррентным соотношением Беллмана». Оно может быть записано в формально математическом виде, однако для практического применения необходимости в такой записи нет.

Таблица 15.4

Различные способы распределения инвестиций между отраслями №1, №2 и №3,

содержащие в своем составе наилучшие варианты для первых двух отраслей

Отрасль№1+отрасль №2 Отрасль №3 х3	х	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900
	g2 f3	0	7	12	17	22	28	35	42	47	50
0	0	0*	7	12	17	22	28	35	42	47	50
100	12	12*	19*	24*	29*	34*	40*	47*	54*	59*
200	15	15	22	27	32	37	43	50	57
300	18	18	25	30	35	40	46	53
400	22	22	29	34	39	44	50
500	25	25	32	37	42	47
600	27	27	34	39	44
700	30	30	37	42
800	32	32	39
900	34	34

В результате применения прежней методики получаем наилучшие распределения инвестиций уже для трех отраслей – g₃(x), которые помещаем в таблицу15.5 .

Выбор наилучшего значения результата инвестиций при каждом фиксированном значении распределяемой суммы (то есть в данном примере выбор максимального значения на каждой диагонали) называют «принципом оптимальности Беллмана». Как и другие математические принципы и правила, «принцип оптимальности Беллмана» может быть записан в формально математическом виде, но для выполнения практических расчетов необходимости в этом нет.

Таблица 15.5

Наилучшие варианты распределения инвестиций для первых трех отраслей

Объем инвестиций	х	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900
в том числе объем инвестиций, направляемых в отрасль №3	x3	0	100	100	100	100	100	100	100	100	100
Наилучший суммарный эффект при вложениях в первые 3 отрасли	g3(x)	0	12	19	24	29	34	40	47	54	59

Шаг № 3. Определяем наилучшие варианты для всех четырех отраслей. Поскольку этот шаг – последний, то заполнять промежуточные значения инвестиций до 900 млрд. необходимости нет. Поэтому в таблице 15.6 достаточно заполнить только одну диагональ – самую последнюю, соответствующую суммарным инвестициям в 90 млрд.

Таблица 15.6

Различные способы распределения

общего инвестиционного объема 900млн.руб. между всеми 4-мя отраслями,

содержащие в своем составе наилучшие варианты для первых трех отраслей

	х	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900
х4	g3(x) f4(x)	0	12	19	24	29	34	40	47	54	59
0	0										59
10	18									72*
20	22								69
30	25							65
40	27						61
50	31					60
60	40				64
70	42			61
80	44		56
90	48	48

«Обратный ход»

В таблице 15.6 видим, что при суммарных вложениях х=900 млрд.руб. максимальный эффект (72 млрд.руб.) для 4 отраслей достигается при вложениях в 4-ю отрасль суммы х₄=100 млрд.руб., а в первые 3 – остальных 800.

По таблице15.5 видим, что наилучший суммарный эффект при вложениях в первые 3 отрасли суммы х=800 млрд.руб. составляет g₃(800)=54 млрд.руб. и достигается при вложении в 3-ю отрасль суммы х₃=100 млрд.руб., а в первые 2 – остальных 700.

По таблице 15.3 видим, что наилучший суммарный эффект при вложениях в первые 2 отрасли суммы х=700 млрд.руб. составляет g₂(700)=42 млрд.руб. и достигается при вложении во 2-ю отрасль суммы х₂=600 млрд.руб., а в первую остальных 100=х₁.

Окончательно получаем следующее оптимальное распределение инвестиций

Таблица 15.7

Оптимальный вариант

распределения инвестиций между 4-мя отраслями

Отрасль	Вложения в отрасль	Эк.эффект от вложений
1	x1=100	f1(100)= 7
2	x2=600	f2(600)=35
3	x3=100	f3(100)=12
4	x4=100	f4(100)=18
Итого	900	g4(900)=72

Контрольная работа

Задание № 1

Транспортная задача линейного программрования

Задание № 2

Задача оптимального планирования производства

Для выпуска 4 видов изделий на предприятии используются 3 вида ресурсов.

Нормы расхода ресурсов на 1 изделие, прибыль от каждого изделия и наличие ресурсов представлены в качестве исходных данных для каждого варианта (приложение 1).

Требуется составить оптимальный план производства, то есть определить, какие изделия и в каком количестве следует производить на предприятии, чтобы получить максимально возможную прибыль.

По результатам расчетов, представленных в последней симплексной таблице, дать ответы на следующие вопросы:

1. Какие изделия и в каких количествах входят в оптимальный план и какую прибыль этот план дает.

Какие не входят, и прокомментировать причину.

Является ли этот план единственным?

Если нет, построить еще один оптимальный план

2. Как изменится прибыль, если потребуется ввести в план 1 изделие из числа тех, которые в оптимальный план не входят.

3. Как используются ресурсы, какие из них расходуются полностью (являются «дефицитными»), какие не полностью и в каком размере.

4. Как изменится прибыль при увеличении объемов дефицитных ресурсов на 1.

5. Решить задачу с теми же данными при наличии одного ассортиментного соотношения, связывающего выпуск двух видов продукции (построить это соотношение самостоятельно).

Указание.

Ввести необходимые обозначения, объяснить их .

Составить систему ограничений (неравенств) и целевую функцию.

Преобразовать систему неравенств в систему уравнений.

Решить задачу симплексным методом в симплексных таблицах.

Никаких лишних слов и объяснений алгоритма не требуется.

По результатам расчета ответить на поставленные выше вопросы.

Комплект заданий к задаче оптимального планирования производства

Задание № 3

Решить методом динамического программирования задачу распределения инвестиций между 4 отраслями: определить, какие инвестиции в каждую отрасль следует вложить для получения максимально возможного общего экономического эффекта.