2.4 Решение примера.

Итак, решаем задачу по правилам симплексного метода (который в вычислительном отношении ничем не отличается от метода Жордана-Гаусса).

Выбираем в таблице № 3.1 в качестве ключевого столбец Х₃, имеющий отрицательную двойственную оценку (-48) и вычисляем столбец α. Минимальное α=430 находится во второй строке, эту строку и принимаем в качестве «ключевой».

После этого по известным нам правилам производим преобразования Жордана-Гаусса и получаем таблицу № 3.2.

В этой таблице наряду с отрицательными появилась и положительная двойственная оценка (в столбце Х₆).

Но есть и отрицательные двойственные оценки. Выбираем в качестве ключевого столбца – столбец Х₁ (двойственная оценка -17).

Таблица 3.2

С0	П1	X0	17	80	48	33	0	0	0	α
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
0	x5	900	1	4.333	0	3.667	1	-0.333	0	900
48	х3	430	0	0.833	1	0.167	0	0.167	0	-
0	х7	2500	2	4.000	0	3.000	0	0	1	1250
		20640	-17	-40	0	-25	0	8	0

Минимальное α = 900 находится в первой строке, которую и принимаем в качестве «ключевой». Выполняем преобразование Жордана-Гаусса и получаем таблицу № 3.3

Таблица 3.3

С0	П2	X0	17	80	48	33	0	0	0
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
17	x1	900	1	4.333	0	3.667	1	-0.333	0
48	х3	430	0	0.833	1	0.167	0	0.167	0
0	х7	700	0	-4.667	0	-4.333	-2	0.667	1
		35940	0	33.667	0	37.333	17	2.333	0

В этой таблице отрицательных двойственных оценок нет. Тем самым получен оптимальный план.

Целевая строка интерпретируется следующим образом:

-F+35940=33.667x₂+37.333x₄+2.33x₆ или

F=35940-33.667x₂-37.333x₄-2.33x₆ (А)

где F – значение целевой функции, выраженное через свободные переменные х₂, х₄, х₇. Для базисного плана, записанного в таблице 2, для которого эти переменные равны 0, получаем F=35940. Тем самым нижний элемент столбца Х0 содержит значение целевой функции для оптимального плана, то-есть ту самую максимальную прибыль, которую мы искали.

Из этого выражения становится ясно и то, почему это значение максимально: ведь любое другое решение системы уравнений отличается от найденного решения значением хотя бы одной свободной переменной, которая при этом станет строго положительным числом. Но при этом значение F уменьшится (например, если х₂=1, то F=35940-33.667<35940).

Здесь следует обратить внимание на то, что выражение (А) справедливо всегда, оно есть результат подстановки в целевую функцию выражений переменных х₁, х₃, х₅, х₇ через х₂, х₄, х₆, если все эти 7 переменных связаны между собой нашей системой уравнений. Так что наше рассуждение остается справедливым безотносительно к тому, что в «другом» базисном решении будет другой набор базисных (и свободных) неизвестных.