2.3 Алгоритм симплексного метода

1. Условия задачи записываются в виде линейной системы неравенств (и/или уравнений) и линейной целевой функции.

2. Неравенства превращаются в равенства (то-есть в систему уравнений) путем введения дополнительных переменных.

3. Система уравнений записывается в начальную симплексную таблицу, в нижней строке которой располагаются «двойственные оценки», равные взятым с противоположным знаком коэффициентам целевой функции (в данной задаче – прибыли).

Далее производится перебор базисных планов по следующим правилам.

4. Выбирается «ключевой столбец» по отрицательной двойственной оценке, обычно (но не обязательно) максимальной по величине. Отрицательное значение двойственной оценки указывает на возможность роста целевой функции.

5. Вычисляется «столбец α» делением элементов столбца Х₀ на положительные элементы ключевого столбца.

6. Выбирается «ключевая строка» по минимальному «α».

7. Выполняется преобразование Жордана-Гаусса.

Результат преобразования записывается в новой симплексной таблице.

8. Переход к п.4

9. Процесс решения заканчивается, когда все двойственные оценки станут неотрицательными.

Как видим, алгоритм Симплексного метода фактически совпадает с алгоритмом метода Жордана-Гаусса, если к последнему добавить новое правило, а именно правило № 4 выбора ключевого столбца (этот выбор в методе Жордана-Гаусса не регламентирован).

Взятые с противоположным знаком коэффициенты выражения целевой функции через свободные переменные называются двойственными оценками.

В нашем примере F=17х₁+ 80х₂+ 48х₃+ 33х₄+0х₅+0х₆+0х₇,

-F=-17х₁- 80х₂- 48х₃- 33х₄+0х₅+0х₆+0х₇,

В «начальном плане» (начальном базисном решении) переменные х₁, х₂, х₃, х₄ являются свободными и равны 0. Любое другое базисное решение отличается от начального лишь значениями этих переменных (поскольку, как мы знаем, любое решение системы может быть получено из начального при подходящих значениях свободных переменных).

Поэтому в любом (другом) решении, в котором, например, х₃≠0, слагаемое 48х₃ будет положительным числом, и значение функции F увеличится по сравнению с начальным (в данном случае нулевым), станет положительным. А число «48» показывает увеличение F в расчете на 1 единицу «изменения х₃». Соответственно, то же самое означает и отрицательная двойственная оценка -48.

Это свойство справедливо и по отношению к любой записи общего решения, любому набору свободных и базисных переменных, к любому базисному решению.

С другой стороны, в любой записи общего решения часть переменных является свободными, а часть – базисными, которые выражаются через свободные. Подставив эти выражения в целевую функцию, получим зависимость целевой функции только от свободных переменных.

Исторически сложилось так, что в линейном программировании для интерпретации этого свойства используются не коэффициенты целевой функции, а так называемые «двойственные оценки» - коэффициенты выражения целевой функции через свободные переменные, взятые с противоположным знаком.

Поэтому отрицательные двойственные оценки показывают на возможность увеличения целевой функции, а положительные – уменьшения, в расчете на 1 единицу соответствующей свободной переменной.

В начальном базисном решении свободными переменными оказались исходные неизвестные нашей задачи, и «коэффициенты выражения» - это просто коэффициенты целевой функции.

Будем считать выражение

F=17х₁+ 80х₂+ 48х₃+ 33х₄+0х₅+0х₆+0х₇,

или, что то же самое,

-F=-17х₁- 80х₂- 48х₃- 33х₄-0х₅-0х₆-0х₇

еще одним уравнением нашей системы (с неопределенным свободным членом «-F») и припишем его к нашей системе. Это и есть самая нижняя строка симплексной таблицы, называемая целевой строкой. Поскольку в процессе преобразований Жордана-Гаусса в уравнениях системы происходит последовательная замена одних базисных переменных другими, то тем самым эти замены будут происходить и в выражении целевой функции, то есть в последней строке симплексной таблицы постоянно будут находиться двойственные оценки, соответствующие очередному базисному решению системы уравнений.

Двойственные оценки в любой симплексной таблице могут быть вычислены и непосредственно по значениям элементов вышележащих строк. Этот способ будет показан далее.