2.2 Математическая запись задачи
С учетом наличия остальных ресурсов получим следующую систему ограничений, которой должны удовлетворять значения неизвестных (х-ов):
х1+
6х2 + 2х3+ 4х4
≤ 1760
5х2 + 6х3+ х4 ≤ 2580
2х1+4х2 + 3х4 ≤ 2500
Требование максимизации прибыли запишем символически в виде:
F=17х1+ 80х2+ 48х3+ 33х4 max
При этом значения переменных х1, х2, х3, х4 должны быть неотрицательными (поскольку они обозначают количества выпускаемых изделий).
х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0
Мы знаем, что система линейных уравнений может иметь не одно решение, а много. То же самое, по-видимому, относится и к системе неравенств.
Поэтому математически задача звучит так:
среди всех решений системы неравенств (математическая редакция: «на множестве решений системы неравенств») найти такое решение (или такие решения), при котором обеспечивается максимум целевой функции F.
Решать «систему неравенств» мы не умеем, но умеем решать систему уравнений. Попробуем превратить неравенства в уравнения.
На сколько левая часть каждого неравенства отличается от правой - неизвестно. Обозначим эти «отличия» х5, х6, х7, соответственно, для первого, второго и третьего неравенства. Это неотрицательные числа: если их добавить к левым частям соответствующих неравенств, то последние превратятся в равенства, то есть в уравнения.
После этого условия задачи приобретают вид:
х
1+
6х2 + 2х3+ 4х4
+ х5 = 1760
5х2 + 6х3+ х4 + х6 = 2580
2х1+4х2 + 3х4 + х7 = 2500
F=17х1+ 80х2+ 48х3+ 33х4+0х5+0х6+0х7 max
«Дополнительные» переменные х5, х6, х7 добавлены в целевую функцию с нулевыми коэффициентами. Это сделано из соображений общности. Целевая функция от этого «не испортится», а все неизвестные в математическом плане станут «равноправными».
Тем самым система неравенств превратилась в систему линейных уравнений, а поиск оптимального плана – в построение такого решения этой системы, которое обеспечивает максимум целевой функции.
Поскольку математическая формулировка задачи тесно связана с экономической ситуацией, то сразу полезно понять экономический смысл введенных дополнительных неизвестных х5, х6, х7.
Как уже отмечалось, выражение
1х1+ 6х2+ 2х3+ 4х4
показывает расход ресурса А1 на план производства. Тем самым дополнительная неизвестная х5, добавленная в это соотношение, – это «недорасход ресурса», излишек ресурса, который остается неиспользованным. В условиях данного примера – это «неотработанные человеко-часы».
Как же решить систему уравнений ?
Оказывается, решать ее нечего, она уже решена. Вспомним, что общим решением системы называется выражение базисных переменных через свободные. Но в системе уже есть полный набор базисных переменных (это такие переменные, каждая из которых входит в одно и только одно уравнение, то есть х5, х6, х7).
И при этом имеем конкретное числовое решение – базисное, получаемое при 0-значениях свободных переменных х1, х2, х3, х4:
х5=1760, х6=2580, х7=2500
Поскольку основные переменные, обозначающие количество изделий, х1, х2, х3, х4 в базисном решении оказались свободными и тем самым равными 0, то по такому плану производства ничего не производится, и общая прибыль
F=17х1+ 80х2+ 48х3+ 33х4+0х5+0х6+0х7 = 0
Пользы от такого плана мало, но появляется возможность этот план улучшить, то есть найти другое базисное решение, в котором значение прибыли уже не будет нулевым.
Симплексный метод представляет собой «направленный перебор» различных базисных решений последней системы (обеспечивающий монотонное возрастание прибыли по мере перебора).
Существует математическая теорема, согласно которой максимум линейной целевой функции обязательно достигается в одном из базисных решений системы уравнений. Оптимальное решение, обеспечивающее максимум целевой функции (в данном случае – прибыли) и находится в конечном счете симплексным методом.
Для решения данные записываются в виде «симплексной таблицы»:
Таблица 3.1
-
С0
П0
X0
17
80
48
33
0
0
0
α
β
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
0
x5
1760
1
6
2
4
1
0
0
880
1/3
0
х6
2580
0
5
6
1
0
1
0
430
-
0
х7
2500
2
4
0
3
0
0
1
-
0
0
-17
-80
-48
-33
0
0
0
-8
В этой таблице фактически изображено базисное решение с базисными переменными х5, х6, х7 и свободными х1, х2, х3, х4.
Х0 |
х5=1860 |
х6=2590 |
х7=6800 |
Значения свободных переменных в базисном решении, которое теперь уместно называть «базисным планом», равны 0, а значения базисных приведены в столбце X0 :
Можно считать, что начальный план составляют нулевые объемы производства (х1=х2=х3=х4=0).
В нижней строке таблицы, называемой целевой строкой, приведены так называемые «двойственные оценки», равные коэффициентам целевой функции с обратным знаком.