4.4 Обоснования, ограничения и свойства метода потенциалов

1. Каким должен быть начальный план поставок

Вспомним, как был составлен начальный план поставок: мы последовательно перебирали столбцы таблицы, и в каждом столбце пытались расположить поставки наилучшим образом. При этом, рассматривая каждую очередную клетку для назначения в ней поставки, мы в конечном счете ставили туда поставку максимально возможную. Этот «метод» начального распределения поставок называется «методом минимума по столбцам».

Аналогичным образом можно построить и «метод минимума по строкам».

А вообще для построения начального плана поставок годится любой последовательный метод, в котором на каждом шаге назначается максимально возможная поставка.

Что это значит ? Это значит, что назначая очередную поставку, мы либо «закрываем» мощность поставщика, либо обеспечиваем полностью спрос потребителя. Соответственно, при этом больше данная строка/столбец участвовать в назначении поставок не будет, ее можно как бы вычеркнуть при определении дальнейших поставок. Назначаем поставку – вычеркиваем столбец, назначаем следующую поставку – вычеркиваем строку, и т.д.

Сколько же таких вычеркиваний вообще можно сделать ? Ясно, что столько, сколько всего строк и столбцов содержится в таблице, то-есть суммарному числу поставщиков+потребителей. А за счет того, что при назначении последней поставки вычеркиваются одновременно и строка, и столбец – на 1 меньше.

Общее число занятых клеток (кружков) должно равняться m+n-1,

где m и n - число поставщиков и потребителей, соответственно.

Это одно из требований, предъявляемых к начальному плану поставок (как и к любому промежуточному при расчетах), но не единственное.

Базисный план поставок

План поставок кроме того должен быть базисным, в нем занятые клетки (кружки) не только должны присутствовать в количестве (m+n-1), но и должны быть расположены определенным образом, а именно должны образовывать так называемую вычеркиваемую комбинацию. Это новое понятие и новое требование. Но оно автоматически выполняется, если опять-таки на каждом шаге назначать максимально возможную поставку. Правда, при этом число кружков может оказаться меньше требуемого (m+n-1), но никак не больше.

Одним из направлений оптимизации являются методы сокращенного перебора, среди которых выделяется группа методов под общим названием «методы динамического программирования». Идейным вдохновителем развития этого направления является американский ученый Ричард Беллман (1920-1985). В нашей стране методы динамического программирования были особенно популярны в 60-70-е годы прошлого века, когда вопросам оптимизации в условиях социалистической экономики придавалось большое значение как в научной среде, так и в сфере управления.

Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере задачи, которую можно назвать «задачей о распределении инвестиций».

Тема № 2. Симплексный метод линейного программирования

Задача оптимального планирования производства.

Постановка задачи

Для выпуска 4 видов продукции (В₁, В₂, В₃, В₄) на предприятии используются 3 вида ресурсов (например, А₁-трудовые ресурсы, чел.-часы, А₂-ресурсы оборудования – станко-часы, А₃- сырье - кг).

Известно, какое количество ресурсов используется на производство единицы продукции. Известно, какое количество ресурсов имеется на предприятии. Известна прибыль от реализации единицы продукции.

Требуется составить оптимальный план производства, то есть такой план, который обеспечивает получение в данных условиях максимально возможной прибыли.

Замечание. В постановке задачи ресурсы считаются «бесплатными», цены на ресурсы в условиях задачи не фигурируют. Эти ресурсы считаются «имеющимися в наличии», причем без каких-либо затрат на их приобретение.

Это определенная условность. Предполагается, что стоимость ресурсов из условий задачи устранена, элиминирована. Оправданием такого допущения служит то, что в качестве критерия оптимальности фигурирует прибыль, представляющая собой превышение доходов над расходами, то есть в значениях прибыли все расходы (в том числе расходы на приобретение ресурсов) уже учтены и тем самым элиминированы из дальнейшего расчета и анализа.

Таблица 3.0

Числовые данные

Виды ресурсов	Расход ресурсов на единицу продукции				Наличие ресурсов
	В1	В2	В3	В4
А1	1	6	2	4	1760 (чел.-час.)
А2	0	5	6	1	2580 (ст.-час.)
А3	2	4	0	3	2500 (кг)
Прибыль от реализации единицы продукции (тыс.руб.)	17	80	48	33

Решение

Обозначим через х₁ – количество изделий В₁,

х₂ – количество изделий В₂,

х₃– количество изделий В₃,

х₄– количество изделий В₄

Значения этих «иксов» нам пока неизвестны. Соответственно, неизвестна и прибыль. Но при любых значениях неизвестных прибыль может быть легко вычислена:

F=17х₁+ 80х₂+ 48х₃+ 33х₄ (тыс.руб.)

Расход ресурса А₁ на план производства составит:

1х₁+ 6х₂+ 2х₃+ 4х₄ (чел.-часов)

Аналогично рассчитывается и расход ресурсов А₂ и А₃.

Поскольку в процессе производства невозможно истратить больше ресурсов, чем их имеется в наличии, то фактический расход ресурса (выраженный через х-ы) (1х₁+ 6х₂+ 2х₃+ 4х₄) не должен превосходить этого наличия (1760), то есть

1х₁+ 6х₂+ 2х₃+ 4х₄ ≤ 1760