2.5. Нахождение рациональных затрат при строительстве трубопроводов и транспортных артерий

Требуется проложить путь (трубопровод, шоссе) между двумя пунктами А и В таким образом, чтобы суммарные затраты на его сооружение были минимальные.

Решение. Разделим расстояние между пунктами A и В на шаги (отрезки). На каждом шаге можем двигаться либо строго на восток (по оси X), либо строго на север (по оси Y). Тогда путь от А в В представляет ступенчатую ломаную линию, отрезки которой параллельны одной из координатных осей. Затраты на сооружение каждого из отрезков известны (рис. 1) в млн р.

Y	(север)				B
	13 11 12 8	9 12 14	9 13 14	10 14 14
	13 15 12	10 11	10 16	8 10
	10 13 14	12 13	9 10	12 14
A			Рис. 1		X (восток)

Разделим расстояние от А до В в восточном направлении на 4 части, в северном — на 3 части. Путь можно рассматривать как управляемую систему, перемещающуюся под влиянием управления из начального состояния А в конечное В. Состояние этой системы перед началом каждого шага будет характеризоваться двумя целочисленными координатами X и Y. Для каждого из состояний системы (узловой точки) найдем условное оптимальное управление. Оно выбирается так, чтобы стоимость всех оставшихся шагов до конца процесса была минимальна. Процедуру условной оптимизации проводим в обратном направлении, т.е. от точки В к точке А.

Найдем условную оптимизацию последнего шага (рис. 2).

В точку В можно попасть из В₁ или В₂, В узлах запишем стоимость пути. Стрелкой покажем минимальный путь. Рассмотрим предпоследний шаг (рис. 3).

Рис. 3

Для точки B₃ условное управление — по оси X, а для точки В₅ — по оси Y. Управление для точки В₄ выбираем как

min{13+10, 14+14)=min{23, 28}=23,

т.е. по оси Y.

Условную оптимизацию проводим для всех остальных уз­ловых точек (рис. 4).

Получим

X_опт=(с, с, в, с, в, в, в),

где с — север, в —восток.

Минимальные затраты составляют

10+13+8+12+9+9+10=71 млн р.

Если решать задачу исходя из оптимальности на каждом этапе, то решение будет следующим:

X=(с, в, в, с, в, с, в),

Затраты составят 10+12+11+10+9+13+10=75>71.

Ответ. Прокладывать путь целесообразно по схеме: с, с, в, с, в, в, в, при этом затраты будут минимальные и составят 71 млн р.

УПРАЖНЕНИЯ

1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени его работы, а также затраты на содержание и ремонт при различном времени его использования приведены в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Наименование	Время, в тевение которого используется оборудование, годы
	0	1	2	3	4	5
Годовой выпуск продукции, млн р.	80	75	65	60	60	55
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования, млн р.	20	25	30	35	45	55

Известно, что затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, идентичного установленному, составляют 40 млн р., а заменяемое оборудование списывается. Составить такой план замены оборудования в течение пяти лет, при котором общий доход за данный период времени максимален.

2. К началу анализируемого периода на предприятии уста­новлено новое оборудование. Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных:

покупная цена оборудования (Р) составляет 12 ден.ед.;

остаточная стоимость оборудования s(t)=0;

f_N(t)=r(t)u(t) — максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии, где r(t) — стоимость продукции, выпускаемой за год на единице оборудования возраста t лет, u(t) — ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;

N=8 лет.

Зависимость f_N(t) от N задана в табл. 2.6.

Таблица 2.6

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f(t)	12	11	10	8	6	4	2	0	0

3. Торговая фирма располагает 5 автолавками, которые могут быть направлены в воскресный день в 3 населенных пункта. Считается, что товарооборот фирмы зависит лишь от количества и ассортимента направляемых товаров и определяется числом посланных в тот или иной населенный пункт машин.

Среднее значение товарооборота в тыс. р. в каждом из населенных пунктов задано в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Количество автолавок	Товарооборот в населённых пунктах, тыс. р.
	1	2	3
1	15	12	18
2	24	20	23
3	30	31	29
4	37	38	36
5	41	42	39

Найти оптимальную стратегию фирмы в распределении автолавок по населенным пунктам, максимизирующую общий товарооборот.

4. В табл. 2.8 указан возможный прирост выпуска продукции четырьмя плодово-консервными заводами области в млн р. при осуществлении инвестиций на их модернизацию с дискретностью 50 млн р., причем на один завод можно осуществить только одну инвестицию.

Составить план распределения инвестиций между заводами области, максимизирующий общий прирост выпуска продукции.

Таблица 2.8

Инвестиции, млн р.	Прирост выпуска продукции, млн р.
	Заводы
	1	2	3	4
50	25	30	36	28
100	60	70	64	56
150	100	90	95	110
200	140	122	130	142

5. В трех областях необходимо построить 5 предприятий по переработке сельскохозяйственной продукции одинаковой мощности.

Разместить предприятия таким образом, чтобы обеспечить минимальные суммарные затраты на их строительство и эксплуатацию.

Функция расходов g_i(x), характеризующая величину затрат на строительство и эксплуатацию в зависимости от количества размещаемых предприятий в i-й области, приведена в табл. 2.9.

Таблица 2.9

x	1	2	3	4	5
g1(x)	8	14	22	29	34
g2(x)	10	17	18	27	31
g3(x)	11	16	15	26	31

6. Проложить трубопровод между двумя пунктами А и В так, чтобы суммарные затраты на его изготовление были минимальные. Исходные данные по затратам в млн р. для проведения расчетов представлены на рис. 6.

Y	(север)			B
	8 5 6 7	9 7 8	10 8 8
	4 6 6	6 7	7 8
	3 5 4	5 4	7 6
A			Рис. 6	X (восток)