Завдання для розрахунку

1. Для заданої системи диференціальних рівнянь скласти структурну схему методом зниження порядку похідної. Для коефіцієнтів і початкових умов , , , , , отримати графіки перехідних процесів x(t), y(t) на інтервалі [0.5; 5] за допомогою пакета Мatlab. Варіанти завдань вибрати з табл. 1.1.

2. Для системи, заданої у вигляді структурної схеми, записати еквівалентну передавальну функцію, виконати перехід від операторної форми запису до диференціального рівняння та скласти структурну схему для його розв’язання. Для значень коефіцієнтів і постійних часу , нульових початкових умов і вхідного сигналу отримати графік перехідного процесу y(t) на інтервалі [0; 6] за допомогою пакета Мatlab. Варіанти завдань вибрати з табл. 1.1.

Таблиця 1.1 – Варіанти систем диференціальних рівнянь та структурних схем

№	Система диференціальних рівнянь	Структурна схема
1
2

Продовження таблиці 1.1

3
4
5
6
7
8

Продовження таблиці 1.1

9
10
11
12
13

Продовження таблиці 1.1

14
15
16
17
18

Продовження таблиці 1.1

19
20
21
22
23

Продовження таблиці 1.1

24
25

Приклад розрахунку

1. Для системи диференціальних рівнянь скласти структурну схему за допомогою методу зниження порядку похідної. Для коефіцієнтів і початкових умов , , отримати графіки перехідних процесів x(t), y(t) на інтервалі [0; 5] за допомогою пакета Мatlab.

Розв’язок

Приведемо задану систему до канонічного вигляду – коли у лівих частинах рівнянь знаходяться похідні найвищих порядків з коефіцієнтами, що дорівнюють одиниці.

Канонічний вигляд вихідної системи диференціальних рівнянь:

.

За допомогою методу структурного моделювання отримаємо розв’язок задачі у вигляді структурної схеми (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 – Структурна схема для вихідної системи диференціальних рівнянь

Структурна схема (рис. 1.1) у пакеті Matlab зображена на рис. 1.2. На рис. 1.3 наведено графіки перехідних процесів x(t), y(t) на інтервалі [0; 5] для коефіцієнтів і початкових умов , , , які отримані за допомогою структурної схеми (рис. 1.2), що моделюється в пакеті Мatlab.

Рисунок 1.2 – Структурна схема для вихідної системи диференціальних рівнянь у пакеті Matlab

Рисунок 1.3 – Графіки перехідних процесів для вихідної системи диференціальних рівнянь

2. Для системи, заданої у вигляді структурної схеми, записати еквівалентну передавальну функцію, виконати перехід від операторної форми запису до диференціального рівняння та скласти структурну схему для його розв’язання. Для значень коефіцієнта і постійної часу , нульових початкових умов і вхідного сигналу отримати графік перехідного процесу y(t) на інтервалі [0; 20] за допомогою пакета Мatlab.

Розв’язок

Розглянемо структурну схему (рис. 1.4) та виконаємо деякі структурні перетворення, необхідні для отримання еквівалентної передавальної функції.

Рисунок 1.4 – Вихідна структурна схема

Зобразимо вихідну структурну схему у вигляді елементарних підсистем, що складаються з послідовно з’єднаних ланок з відомими передавальними функціями або мають зворотні зв’язки. Після відповідних перетворень структурна схема, що зображена на рис. 1.4, набуде вигляду (рис. 1.5):

Рисунок 1.5 – Вихідна структурна схема після перетворень

Таким чином:

Еквівалентна передавальна функція вихідної структурної схеми:

Для переходу до диференціальної форми запису зробимо наступні заміни: та . Після відповідних перетворень маємо:

Перейдемо до канонічної форми запису диференціального рівняння:

де – постійні коефіцієнти.

На рис. 1.6 наведено розв’язок диференціального рівняння у вигляді структурної схеми, отриманої за допомогою методу зниження порядку похідної.

Рисунок 1.6 – Структурна схема отриманого диференціального рівняння

Структурна схема (рис. 1.6) у пакеті Matlab зображена на рис. 1.7. На рис. 1.8 наведено графік перехідного процесу y(t) на інтервалі [0; 20] для значень коефіцієнта і постійної часу , нульових початкових умов і вхідного сигналу .

Рисунок 1.7 – Структурна схема розв’язку диференціального рівняння

в пакеті Matlab

Рисунок 1.8 – Графік перехідного процесу