10.2. Определение жестких систем уравнений

Рассмотрим систему уравнений:

, (10.7)

где , А – матрица . Пусть матрица А имеет большой разброс значений собственных чисел . Назовем величину

числом жесткости.

Система уравнений (10.7) с постоянной матрицей А называется жесткой, если

1) (т.е. система устойчива по Ляпунову),

2) число жесткости велико.

10.3. Абсолютная и условная устойчивость разностных методов

Уточним понятие устойчивости.

Вновь будем рассматривать устойчивость методов на примере решения тестового или модельного уравнения

, (10.8)

Уравнение (10.8) описывает затухающую экспоненту. Например, при начальном условии точное решение равно .

Метод Эйлера описывает монотонно убывающую функцию, если выполнено ограничение на величину шага приращения аргумента: .

Определение. Разностный метод называется абсолютно устойчивым, если он устойчив при любых значениях шага , и условно устойчивым, если он устойчив при выполнении некоторых ограничений на величину шага.

Метод Эйлера является условно устойчивым.

Пример 10.4. Абсолютно устойчивым методом является неявный метод Эйлера:

,

где – правая часть дифференциального уравнения – и . Применив неявный метод Эйлера к тестовому уравнению, получим:

или ,

где и при любых значениях .

Пример 10.5. Проверим устойчивость неявного метода второго порядка

.

Применим метод к тестовому уравнению (10.8):

или .

Характеристическое уравнение: .

Следовательно, при любых значениях , и данный метод является абсолютно устойчивым.

10.4. Область устойчивости

Предположим теперь, что в уравнении

(10.9)

может быть комплексным числом. Уравнение (10.9) моделирует систему (10.7), если оно рассматривается при всех значениях , являющихся собственными числами матрицы А. Будем называть уравнение (10.9) также модельным уравнением.

Применим к модельному уравнению разностный метод

.

, (10.10)

где – комплексный параметр. Характеристическое уравнение для разностного уравнения (10.10) имеет вид:

.

Определение. Областью устойчивости разностного метода называется множество всех точек комплексной плоскости , для которых данный метод, примененный к модельному уравнению (10.9), является устойчивым.

Пример 10.6. Найдем область устойчивости явного метода Эйлера: . Применив метод к модельному уравнению (10.9), получим:

.

Условие устойчивости:

.

Для комплексного параметра это означает:

, –

т.е. область устойчивости представляет собой круг единичного радиуса с центром в точке (см. рис. 10.8).

Пример 10.7. Найдем область устойчивости неявного метода Эйлера: . Применив метод к модельному уравнению (10.9), получим:

.

Условие устойчивости:

, т.е. .

Область устойчивости неявного метода Эйлера – это область, внешняя по отношению к кругу единичного радиуса с центром в точке (см. рис. 10.9).

П ример 10.8. Построим область устойчивости метода Рунге-Кутта четвертого порядка: .

Здесь , , , ,

f – правая часть дифференциального уравнения:

.

Для модельного уравнения имеем:

, ,

, , .

В области устойчивости модуль выражения в квадратных скобках не превосходит 1.

Определение. Разностный метод называется А-устойчивым, если область его устойчивости содержит левую полуплоскость .

А-устойчивый метод является абсолютно устойчивым (устойчивым при любых значениях ), если устойчиво решение дифференциального уравнения.

А-устойчивым методом является неявный метод Эйлера.

Пример 10.9. Найдем область устойчивости неявного двухшагового метода второго порядка

.

Применив метод к модельному уравнению (10.9) и обозначив , получим: . Заменив , придем к характеристическому уравнению .

На границе области устойчивости и . Таким образом, граница области устойчивости представляет собой мнимую ось, и область устойчивости совпадает с левой полуплоскостью.

Пример 10.10. Найдем область устойчивости неявного одношагового метода второго порядка – второго модифицированного метода Эйлера:

.

Повторяя рассуждения примера 10.9, применим метод к модельному уравнению (10.9) и, обозначив , получим: . Характеристическое уравнение имеет вид: .

На границе области устойчивости и . Опять-таки, граница области устойчивости представляет собой мнимую ось, и область устойчивости совпадает с левой полуплоскостью.

Очень мало методов принадлежит к классу А-устойчивых.

Теорема. Не существует явных А-устойчивых методов.

Для доказательства запишем характеристическое уравнение разностного метода

,

примененного к модельному уравнению (4.1), в следующем виде:

. (10.11)

Для явного метода . Могут оказаться равными нулю и другие коэффициенты . Пусть . Тогда

.

О тсюда видно, что при больших значениях q функция . Следовательно, для любого достаточно большого по модулю числа (в том числе и для , лежащего в левой полуплоскости) найдется корень уравнения (10.11) такой, что .

Существует доказательство, что среди неявных линейных многошаговых методов нет А-устойчивых методов, имеющих порядок точности выше второго.

В связи с тем, что класс А-устойчивых методов весьма узок, были введены менее ограничительные определения устойчивости.

Определение. Разностный метод называется А()-устойчивым, если область его устойчивости содержит сектор: (рис. 10.11).

В частности А(2)-устойчивость совпадает с А-устойчивостью.

Доказано, что ни для какого  не существует явных А()-устойчивых линейных многошаговых методов.